2010年北京市朝阳外国语学校高考数学模拟试卷（二）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A∪（C_∪B）等于（ ）
A．{1，2，3，4，5}
B．{3，4}
C．{1，3，4}
D．{2，3，4，5}

2. 难度：中等

设i是虚数单位，复数z=tan45°-isin60°，则z²等于（ ）
A．
B．i
C．i
D．

3. 难度：中等

若数列{a_n}是公比为4的等比数列，且a₁=2，则数列{log₂a_n}是（ ）
A．公差为2的等差数列
B．公差为lg2的等差数列
C．公比为2的等比数列
D．公比为lg2的等比数列

4. 难度：中等

设a为常数，函数f（x）=x²-4x+3．若f（x+a）为偶函数，则a等于（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1

5. 难度：中等

已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线b，a∥b，b⊂α
B．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C．存在一个平面β，a⊂β，α∥β
D．存在一个平面β，a⊥β，a⊥β

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（ ）

A．V=32，n=2
B．
C．
D．V=16，n=4

7. 难度：中等

设a，b∈R，且b（a+b+1）＜0，b（a+b-1）＜0，则（ ）
A．a＞1
B．a＜-1
C．-1＜a＜1
D．|a|＞1

8. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f （x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：1f（0）=0；2；3f（1-x）=1-f（x）．则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对（x，y）的概率是    ．

10. 难度：中等

的展开式中x²的系数是    ；其展开式中各项系数之和为    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

将A，B，C，D四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．A在甲组的概率是    ．

12. 难度：中等

设O为坐标原点，向量．将绕着点O按逆时针方向旋转90°得到向量，则2的坐标为     ．

13. 难度：中等

给出下列四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx-cosx；③y=sinx•cosx；
④．其中在上既无最大值又无最小值的函数是    ．（写出全部正确结论的序号）

14. 难度：中等

下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交与点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n

下列说法中正确的命题的序号是     （填出所有正确命题的序号）．
①；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（，0）对称

15. 难度：中等

我校高一年级研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响．
（Ⅰ）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；
（Ⅱ）设ξ为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．

16. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|=2，设．
（Ⅰ）用θ表示点B的坐标及|OA|；
（Ⅱ）若，求的值．

17. 难度：中等

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=AA₁．
（Ⅰ）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C₁的大小．

18. 难度：中等

设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f（x）．
（1）若方程f（x）=0有两个实根分别为-2和4，求f（x）的表达式；
（2）若g（x）在区间[-1，3]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆，过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B．
（1）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），求当|AB|＜时，实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|2x²+4x-6|对任意的实数x均成立．定义数列{a_n}和{b_n}：a₁=3，2a_n=f（a_n-1）+3（n=2，3，…），b_n=，数列{b_n}的前n项和S_n．
（I）求a、b的值；
（II）求证：；
（III ）求证：