2007年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

M={a，b}，则满足M∪N={a，b，c}的集合N的个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8

2. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，若a₃+a₁₁=24，a₄=3，则{a_n}的公差是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．6

3. 难度：中等

已知函数在（-∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若一个函数y=f（x）按向量平移后得到函数y=cosx的图象，则函数y=f（x）的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知以椭圆的右焦点F为圆心，a为半径的圆与直线l：（其中）交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设地球的半径为R，若甲地位于北纬35°东经110°，乙地位于南纬85°东经110°，则甲乙两地的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

有八名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续的数字（如：4，5，6），则参加比赛的这八名运动员安排跑道的方式共有（ ）
A．360种
B．4320种
C．720种
D．2160种

8. 难度：中等

已知以下函数：（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3e^cosx；（3）f（x）=3e^x；（4）f（x）=3cosx．
其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，都存在唯一一个自变量x₂使成立的函数是（ ）
A．（1）（2）（4）
B．（2）（3）
C．（3）
D．（4）

二、解答题

9. 难度：中等

计算：（1-i）（2+i）=    ．

10. 难度：中等

函数的定义域是     ，单调递减区间是     ．

11. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为     ．

12. 难度：中等

过点的直线l与圆C：（x-1）²+y²=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为     ．

13. 难度：中等

当的展开式的第5项的值等于时，x=    ，此时=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足（n∈N^*），且a₁=1，则a_n=    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）函数图象的对称轴方程；
（3）求f（x）的单调区间．

16. 难度：中等

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求数列的前n项T_n．

17. 难度：中等

某中学排球队进行发球训练，每人在一轮练习中最多可发球四次，且规定一旦发球成功即停止该轮练习，否则一直发到4次为止．已知队员甲发球成功的概率为0.6．
（1）求一轮练习中队员甲的发球次数ξ的分布列，并求出ξ的数学期望Eξ；
（2）求一轮练习中队员甲至少发球3次的概率．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求点F到平面PCE的距离；
（3）求直线FC平面PCE所成角的大小．

19. 难度：中等

已知平面上两个定点、，P为一个动点，且满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A、B是轨迹C上的两个不同动点．分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明为定值．

20. 难度：中等

已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．