2010年高考数学模拟试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={（x，y）|y=x²}，N={（x，y）|y=2^x}，则集合M∩N的子集的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8

2. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+a，则复数的值为（ ）
A．1
B．i
C．-1
D．-i

3. 难度：中等

设a，b，c是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）
A．当b∥c时，若b⊥α，则c⊥α
B．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
C．当v⊥α时，若v⊥β，则α∥β
D．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

4. 难度：中等

已知f（x）=sinx，x∈R，g（x）的图象与f（x）的图象关于点对称，则在区间（-π，π）上满足f（x）≥g（x）的x的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）
A．20种
B．30种
C．40种
D．60种

6. 难度：中等

某公园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2m处达到最高，最高的高度为8m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为（ ）
A．5m
B．3.5m
C．5.5m
D．7.5m

7. 难度：中等

在一次射击练习中，甲，乙两人前5次射击的成绩分别为（单位：环）
甲：10  8  10  10  7；
乙：7  10  9  9  10
则这次练习中，甲，乙两人方差的大小关系是（ ）
A．S²_甲＞S²_乙
B．S²_甲＜S²_乙
C．S²_甲=S²_乙
D．无法确定

8. 难度：中等

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A、B两点，且（其中O为原点），则实数a等于（ ）
A．
B．
C．±2
D．

9. 难度：中等

由展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有（ ）
A．50项
B．17项
C．16项
D．15项

10. 难度：中等

过椭圆的左焦点F的直线I交椭圆于点A、B，交其左准线于点C，若，则此直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．±1

11. 难度：中等

某旅游城市有5个景点，这5个景点间的路线距离（单位：十公里）见右表，若以景点A为起点，景点E为终点，每个景点经过且只经过一次，那么旅游公司开发的最短路线距离为（ ）

A．20.6
B．21
C．22
D．23

12. 难度：中等

设函数y=f （x）是定义域为R的奇函数，且满足f （x-2）=-f （x）对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f （x）=x³，则下列四个命题：
①f（x）是以4为周期的周期函数．
②f（x）在[1，3]上的解析式为f （x）=（2-x）³．
③f（x）在处的切线方程为3x+4y-5=0．
④f（x）的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④

二、解答题

13. 难度：中等

已知单调递增的等比数列a_n满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中项，则数列a_n的前n项和S_n=    ．

14. 难度：中等

若关于x的实系数方程x²+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．设z=2a-b，则z的取值范围     ．

15. 难度：中等

已知正三棱锥D-ABC的外接球的球心O满足，且外接球的体积为16π，则该三棱锥的体积为     ．

16. 难度：中等

下列结论：
①a=1是函数y=3sin（2ax+1）+2的周期为π的充要条件；
②老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是系统抽样；
③若“存在x∈R，使得ax²+（a-3）x+1＜0”是假命题，则1＜a＜9；
④某人向一个圆内投镖，则镖扎到该圆的内接正三角形区域内的概率为．
其中正确的是     ．

17. 难度：中等

已知向量，．
（Ⅰ）若，求sin2α的值；
（Ⅱ）设，求的取值范围．

18. 难度：中等

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，且满足2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n．
（Ⅰ）求a₁、b₁的值，并证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定实数λ的值，使数列是等差数列．

20. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，二面角P-AB-C为45°，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

22. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．