2009年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={-1，1}，则满足N⊆M的集合N的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

“a=1”是“函数f（x）=在x=1处连续的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本，有以下三种抽样方法：
①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，…，99，抽签取出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组随机抽取1个；
③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
则下述判断中正确的是（ ）
A．不论采用何种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为
B．①、②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为；③并非如此
C．①、③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为；②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性是各不相同的

4. 难度：中等

在（1+x）ⁿ展开式中，x³与x²的系数分别为a，b，如果=3，那么b的值为（ ）
A．70
B．60
C．55
D．40

5. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁+2a₂=3，且对任意的n∈N^*，点P_n（n，a_n）都有，则{a_n}的前n项和S_n为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知直线l₁∥平面α，直线l₂⊂α，且l₁∥l₂，点A∈l₁，点B∈l₂．记A到α的距离为a，A到l₂的距离为b，A，B两点间的距离为c，则（ ）
A．b≤a≤c
B．b≤c≤a
C．a≤b≤c
D．a≤c≤b

7. 难度：中等

若，则角θ的终边落在直线（ ）上
A．24x-7y=0
B．24x+7y=0
C．7x+24y=0
D．7x-24y=0

8. 难度：中等

已知P为抛物线x²=2py（p＞0）上的动点，F为抛物线的焦点，过F作抛物线在P点处的切线的垂线，垂足为G，则点G的轨迹方程为（ ）
A．x²+y²=p²
B．
C．
D．y=0

二、解答题

9. 难度：中等

设函数的反函数为f^-1（x），则f^-1（1）的值为    ．

10. 难度：中等

已知过原点的直线与圆（其中θ为参数）相切，若切点在第二象限，则该直线的方程为    ．

11. 难度：中等

将函数图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍，所得图象所对应的函数解析式为    ；若将f（x）的图象沿x轴向左平移m个单位（m＞0），所得函数的图象关于y轴对称，则m的最小值为    ．

12. 难度：中等

如图，PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PD=AD，则直线PA与直线BD所成的角为    ．

13. 难度：中等

6个人分乘两辆不同的出租车，如果每辆车最多能乘4个人，则不同的乘车方案有    种．

14. 难度：中等

在圆x²+y²=5x内，过点有n（n∈N^*）条弦，它们的长构成等差数列，若a₁为过该点最短弦的长，a_n为过该点最长弦的长，公差，那么n的值是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量=（a+c，b-a），=（a-c，b），且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求角A的值．

16. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面SAC⊥底面ABC，SA=SC=2，M，N分别为AB，SB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小．

17. 难度：中等

一个圆环直径为，通过铁丝BC，CA₁，CA₂，CA₃（A₁，A₂，A₃是圆上三等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板2m，如图所示．
（Ⅰ）设BC长为x（m），铁丝总长为y（m），试写出y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（Ⅱ）当x取多长时，铁丝总长y有最小值，并求此最小值．

18. 难度：中等

在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是，每次命中与否互相独立．
（Ⅰ）求恰好射击5次引爆油罐的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．

19. 难度：中等

如图，F为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；
（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（其中a为常数，x≠a）．利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（Ⅰ）当a=1且x₁=-1时，求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x₁，都可用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．