2010年福建省厦门市高三3月质量检查数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．1-i
B．
C．i
D．-i

2. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

4. 难度：中等

如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3^x，x＞0}，则A#B=（ ）
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0≤x≤1或x≥2}
D．{x|0≤x≤1或x＞2}

5. 难度：中等

以下四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．
③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K²的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大
其中正确的是（ ）
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④

6. 难度：中等

已知向=（2，sinx），=（cos²x，2cosx）则函数f（x）=的最小正周期是（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

7. 难度：中等

若实数x，y满足的最大值为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2

8. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a^x+b的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知△ABC的三边a、b、c的长均为正整数，且a≤b≤c，若b为常数，则满足要求的△ABC的个数是（ ）
A．b²
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b

二、解答题

11. 难度：中等

已知一个空是几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是    

12. 难度：中等

图1是某工厂2009年9月份10个车间产量统计条形图，条形图从左到右表示各车间的产量依次记为A₁，A₂…，A₁₀（如A₃表示3号车间的产量为950件）．图2是统计图1中产量在一定范围内车间个数的一个算法流程图．那么运行该算法流程后输出的结果是    ．

13. 难度：中等

2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有    种．（用数字作答）

14. 难度：中等

给出下列命题：
①函数的一个对称中心；
②已知函数f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的值域为；
③若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＜sinβ．
其中所有真命题的序号是    ．

15. 难度：中等

如图，P是双曲线上的动点，F₁、F₂是双曲线的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且．某同学用以下方法研究|OM|：延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，且M为F₂M的中点，得．类似地：P是椭圆上的动点，F₁、F₂是椭圆的焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且．则|OM|的取值范围是     ．

16. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和S_n=pn²+2n（n∈N^*）．
（I）求p的值及a_n；
（II）若，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求使成立的最小正整数n的值．

17. 难度：中等

今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：

A小区	低碳族	非低碳族		B小区	低碳族	非低碳族
比例P				比例P

（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率；
（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从A小区中任选25个人，记ξ表示25个人中的低碳族人数，求Eξ和Dξ．

18. 难度：中等

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分别为CE、AB的中点．
（I）求证：OD∥平面ABC；
（II）求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；
（III）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

19. 难度：中等

已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l₁，l₂且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

20. 难度：中等

已知函数．
（I）求函数f（x）在定义域上的单调区间；
（II）若关于x的方程f（x）-a=0恰有两个不同实数解，求实数a的取值范围；
（III）已知实数x₁，x₂∈（0，1]，且x₁+x₂=1．若不等式f（x₁）•f（x₂）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）上恒成立，求实数p的最小值．

21. 难度：中等

已知二阶矩阵，矩阵M对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）．求矩阵M将圆x²+y²=1变换后的曲线方程．