2010年北京四中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．-1
D．3

2. 难度：中等

已知，，则向量与（ ）
A．互相平行
B．互相垂直
C．夹角为30°
D．夹角为60°

3. 难度：中等

曲线的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程为（ ）
A．（x+2）²+y²=4
B．（x-2）²+y²=4
C．（x+4）²+y²=16
D．（x-4）²+y²=16

4. 难度：中等

掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p₁，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p₂，则（ ）
A．p₁＜p₂
B．p₁＞p₂
C．p₁=p₂
D．不能确定

5. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

6. 难度：中等

的展开式中x的系数是（ ）
A．-4
B．-3
C．3
D．4

7. 难度：中等

把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A．，x∈R
B．，x∈R
C．，x∈R
D．，x∈R

8. 难度：中等

设f（x）=x³+bx²+cx，又m是一个常数．已知当m＜0或m＞4时，f（x）-m=0只有一个实根；当0＜m＜4时，f（x）-m=0有三个相异实根，现给出下列命题：
（1）f（x）-4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；
（2）f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；
（3）f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根；
（4）f（x）+5=0的任一实根小于f（x）-2=0的任一实根．其中错误命题的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、解答题

9. 难度：中等

不等式|x-1|＜1的解集是    ．

10. 难度：中等

已知平面向量=（2，4），=（-1，2）．若==    ．

11. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（3，a²），则P（ ξ＜3）=    ．

12. 难度：中等

若一个球的体积为，则它的表面积为    ．

13. 难度：中等

设双曲线的左、右焦点分别是F₁、F₂，过点F₂的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF₁为正三角形，则该双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数．若a_n=f（），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_3n=    ．

15. 难度：中等

某学校高一年级开设了A，B，C，D，E五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；
（Ⅲ）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期望．

16. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（ I）求的值；
（II）求tan（A-B）的最大值．

17. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大小．

18. 难度：中等

已知函数（a＞0且a为常数）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式对x∈[-，+∞）恒成立，求a的取值范围．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A、B两点．
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=，且a_n+2=．
（I）求证：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求下表中前n行所有数的和S_n．