2010年江苏省宿迁市高考数学模拟试卷（四）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={0，2，a²}，B={1，a}，若A∪B={0，1，2，4}，则实数a的值为    ．

2. 难度：中等

已知虚数z满足2z-=1+6i，则|z|=    ．

3. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n的和为S_n，若S₉=72，则a₂+a₄+a₉=    ．

4. 难度：中等

抛物线y=2px²（p＞0）的准线方程是    ．

5. 难度：中等

已知是方程的一个解，α∈（-π，0），则α=    ．

6. 难度：中等

直线l₁：x-ky+1=0，l₂：kx-y+1=0，则l₁∥l₂的充要条件是    ．

7. 难度：中等

铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50 kg按0.53元/kg收费，超过50 kg的部分
按0.85元/kg收费，相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填    ．

8. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2^x，又a是函数的正零点，则f（-2），f（a），f（1.5）的大小关系是    ．

9. 难度：中等

设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是    ．（填所正确条件的代号）
①x，y，z为直线；②x，y，z为平面；
③x，y为直线，z为平面；④x为直线，y，z为平面．

10. 难度：中等

x、y满足且z=|2x+ay+6|取得最大值的最优解有无数个，则a=    ．

11. 难度：中等

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且它们在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，边b=2，，sin2A+2sin（A-C）-2sinB=0，则边c=    ．

13. 难度：中等

某同学在研究函数y=f（x）（x≥1，x∈N）的性质，他已经正确地证明了函数f（x）满足：f（3x）=3f（x），
并且当1≤x≤3时，f（x）=[1-|x-2|]，这样对任意x≥1，他都可以求f（x）的值了，比如f（3×）=3f（）=3[1-|-2|]=1，f（54）=3³f（）=27，请你根据以上信息，求出集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²+2）e^x，求函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程    ．

15. 难度：中等

某老师从参加高一年级一次考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如图所示的部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）该老师不小心洒了一个墨点在直方图的矩形区域内，求恰好落在第四组的小矩形内的概率（不计墨点大小）；
（3）若60分及以上为及格，估计从高一年级及格的学生中抽取一位学生分数不低于80分的概率．

16. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB，D，D₁，G分别为AB，A₁B₁，A₁C₁的中点，E、F在BB₁上，且BB₁=4BE=4B₁F．
（1）求证：DG∥平面BCC₁B₁；
（2）求证：平面DEG⊥平面C₁D₁F．

17. 难度：中等

在△ABC中，．
（1）求的值；
（2）求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差为d，d＞0，数列{b_n}是公比为q等比数列，且b₁=a₁＞0．
（1）若a₃=b₃，a₇=b₅，探究使得a_n=b_m成立时n与m的关系；
（2）若a₂=b₂，求证：当n＞2时，a_n＜b_n．

19. 难度：中等

如图，已知圆O：x²+y²=1，O为坐标原点．
（1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．
①求轨迹E的方程；
②过轨迹E上一定点P（x，y）作相互垂直的两条直线l₁，l₂，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设l₁被圆O截得的弦长为a，设l₂被轨迹E截得的弦长为b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

（1）求将曲线y²=x绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．
（2）求圆心为，半径为3的圆的极坐标方程．

22. 难度：中等

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分别为CE、AB的中点，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值．

23. 难度：中等

在的展开式中，x⁶的系数为    ．