2006年广东省高考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（ ）
A．（-，+∞）
B．（-，1）
C．（-，）
D．（-∞，-）

2. 难度：中等

若复数z满足方程z²+2=0，则z³=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．y=-x³，x∈R
B．y=sinx，x∈R
C．y=x，x∈R
D．

4. 难度：中等

如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中真命题的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

6. 难度：中等

已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

7. 难度：中等

函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）的图象与y轴交于点P（0，2）（如图所示），则方程f（x）=0在[1，4]上的根是x=（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

8. 难度：中等

已知双曲线3x²-y²=9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点x₂到右准线的距离之比等于（ ）
A．
B．
C．2
D．4

9. 难度：中等

在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（ ）

A．[6，15]
B．[7，15]
C．[6，8]
D．[7，8]

10. 难度：中等

对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（ ）
A．（4，0）
B．（2，0）
C．（0，2）
D．（0，-4）

二、解答题

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为    ．

13. 难度：中等

在的展开式中，x⁵的系数为    ．

14. 难度：中等

在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=    ；f（n）=    （答案用n表示）．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+sin（x+），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若f（α）=，求sin 2α的值．

16. 难度：中等

某运动员射击一次所得环数X的分布如下：

X	6	7	8	9	10
P		0.2	0.3	0.3	0.2

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ
（Ⅰ）求该运动员两次都掵中7环的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列．
（Ⅲ）求ξ的数学期望．

17. 难度：中等

如图所示，AF、DE分别世⊙O、⊙O₁的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8．BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD．
（I）求二面角B-AD-F的大小；
（II）求直线BD与EF所成的角．

18. 难度：中等

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xoy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P满足，点Q是点P关于直线y=2（x-4）的对称点．求
（I）求点A、B的坐标；
（II）求动点Q的轨迹方程．

19. 难度：中等

已知公比为q（0＜q＜1）的无穷等比数列{a_n}各项的和为9，无穷等比数列{a_n²}各项的和为．
（1）求数列{a_n}的首项a₁和公比q；
（2）对给定的k（k=1，2，3，…，n），设T^（k）是首项为a_k，公差为2a_k-1的等差数列，求T^（2）的前2007项之和；
（3）（理）设b_i为数列T^（i）的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n：
①求S_n的表达式，并求出S_n取最大值时n的值．
②求正整数m（m＞1），使得存在且不等于零．
（文）设b_i为数列T^（i）的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n：求S_n的表达式，并求正整数m（m＞1），使得存在且不等于零．

20. 难度：中等

设0＜a，b，c＜1，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a，不可能同时大于