2005年广东省高考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={x||x|≤2}，N={x|x²-3x=0}，则M∩N等于（ ）
A．{3}
B．{0}
C．{0，2}
D．{0，3}

2. 难度：中等

若（a-2i）i=b-i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a²+b²=（ ）
A．0
B．2
C．
D．5

3. 难度：中等

=（ ）
A．
B．0
C．
D．

4. 难度：中等

已知高为3的直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B₁-ABC的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为，则m=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x²+1是减函数的区间为（ ）
A．（2，+∞）
B．（-∞，2）
C．（-∞，0）
D．（0，2）

7. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中与AD₁成60°角的面对角线的条数是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

8. 难度：中等

先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log_2XY=1的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在同一平面直角坐标系中，函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于直线y=x对称．现将y=g（x）的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f（x）的表达式为（ ）

A．f（x）=
B．f（x）=
C．f（x）=
D．f（x）=

10. 难度：中等

已知数列{x_n}满足x₂=，x_n=（x_n-1+x_n-2），n=3，4，…．若=2，则x₁=（ ）
A．
B．3
C．4
D．5

二、解答题

11. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是    ．

12. 难度：中等

已知向量=（2，3），=（x，6），且∥，则x=    ．

13. 难度：中等

已知（xcosθ+1）⁵的展开式中x²的系数与（x+）⁴的展开式中的x³的系数相等，则cosθ=    ．

14. 难度：中等

设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点个数，则f（4）=    ，当n＞4时f（n）=    （用n表示）

15. 难度：中等

化简（x∈R，k∈Z）并求函数f（x）的值域和最小正周期．

16. 难度：中等

如图所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2．F是线段PB上一点，CF=，点E在线段AB上，且EF⊥PB．
（1）证明：PB⊥平面CEF；
（2）求二面角B-CE-F的大小．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s：t．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．
（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值．