2009年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

等于（ ）
A．-1
B．1
C．-i
D．i

2. 难度：中等

直线y=x+b平分圆x²+y²-8x+2y+8=的周长，则b=（ ）
A．3
B．5
C．-3
D．-5

3. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

的展开式中常数项是（ ）
A．210
B．
C．
D．-105

5. 难度：中等

“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2+
B．
C．
D．1+

7. 难度：中等

设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（ ）
A．0
B．1
C．
D．5

8. 难度：中等

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+…+[log₃243]的值为（ ）
A．847
B．850
C．852
D．857

二、解答题

9. 难度：中等

为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下．根据下图可得这100名学生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是    ．

10. 难度：中等

在0，1，2，3，4，5这六个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有    个（用数字作答）．

11. 难度：中等

将正整数排成下表：

则数表中的300应出现在第    行．

12. 难度：中等

如果过点（0，1）斜率为k的直线l与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么直线l的斜率k=    ；不等式组表示的平面区域的面积是    ．

13. 难度：中等

在极坐标系中，点A（，）到直线pcosθ+psinθ-6=0的距离是     ．

14. 难度：中等

设x+y+z=2，则m=x²+2y²+z²的最小值为     ．

15. 难度：中等

如图，PT切圆O于点T，PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，，BC=1，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求的值．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求点F到平面PCE的距离；
（3）求直线FC平面PCE所成角的大小．

18. 难度：中等

某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量x，求x的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

已知椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且椭圆过点P（，1）．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l过点M（-1，1）交椭圆于A、B两点，且，求直线l的方程．

20. 难度：中等

根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）求数列x_n的通项公式；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列y_n的一个通项公式，并证明你的结论；
（3）求z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n（x∈N^*，n≤2008）．

21. 难度：中等

一个均匀的立方体各面上分别标有数字：1，2，3，4，6，8，其表面展开图是如图所示，抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍的概率是 ______．