2009年广东省韶关市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）=（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ+a，则a=（ ）
A．0
B．-2
C．-1
D．1

3. 难度：中等

如果指数函数y=（）^x，在R上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2
B．2＜a＜3
C．a＜3
D．a＞3

4. 难度：中等

已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（ ）

A．10米
B．30米
C．10米
D．米

6. 难度：中等

以下五个命题
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；
③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；
④在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位；
⑤在一个2×2列联表中，由计算得k²=13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%以上．
其中正确的是（ ）
A．②③④⑤
B．①③④
C．①③⑤
D．②④

7. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，g（x）=1+，若f（x）＞g（x），则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（0，1）
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知与为互相垂直的单位向量，，，且与共线，则实数λ=    ．

10. 难度：中等

如图，是一程序框图，则输出结果为    ．

11. 难度：中等

已知可行域的外接圆C与x轴交于点A₁、A₂，双曲线E以线段A₁A₂为实轴，离心率．则圆C的方程是     ；双曲线E的方程是     ．

12. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度．

13. 难度：中等

（参数方程与极坐标）已知F是曲线（θ∈R）的焦点，，则|MF|的值是     ．

14. 难度：中等

如图，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF=6，PD=2，则∠DFP=    °．

15. 难度：中等

已知p（x，y）在直线l：x-y-1=0运动，当函数z=2取得最大值时，P点的坐标为     ．

16. 难度：中等

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；
（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．

17. 难度：中等

在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学．每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况．
（Ⅰ）求选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率；
（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M为PB的中点，试求异面直线AN和BC所成的角的余弦值．
（Ⅲ）试问：在侧棱PB上是否存在一点Q，使截面AQC把几何体分成的两部分的体积之比V_PDCQ：V_QACB=7：2？若存在，请求PQ的长；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元．写出a_n，b_n的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

21. 难度：中等

已知x=0是函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一个极值点，且函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为2e²．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求单调区间．
（Ⅱ）设g（x）=，其中x∈[-2，m]，问：对于任意的m＞-2，方程g（x）=（m-1）²在区间（-2，m）上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数．若不存在，请说明理由．