2010年北京市朝阳外国语学校高考数学模拟试卷（一）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若sin2α＞0，且cosα＜0，则角α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角

2. 难度：中等

函数f（x）=2^x+1的反函数y=f^-1（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若向量、满足=（2，-1），=（1，2），则向量与的夹角等于（ ）
A．45^°
B．60^°
C．120^°
D．135^°

4. 难度：中等

已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l∥β，则α⊥β
C．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
D．若l⊥α，l⊥β，则α⊥β

5. 难度：中等

若实数a，b，c成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是（ ）
A．
B．ab+bc+ca≥a²+b²+c²
C．b²≥ac
D．|b|-|a|≤|c|-|b|

6. 难度：中等

“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知实数x，y满足，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

关于函数f（x）=sin²x-（）^|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①f（x）是奇函数②当x＞2003时，f（x）＞恒成立③f（x）的最大值是④f（x）的最小值是-．
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

在复平面内，复数（a∈R）对应的点位于虚轴上，则a=    ．

10. 难度：中等

在（n∈N^*）的展开式中，所有项的系数之和为64，则的系数是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，若S_n=1+na_n（n=1，2，3…），则S_n关于n的表达式为S_n=    ．

12. 难度：中等

已知曲线，曲线（t为参数），则C₁与C₂的位置关系为     ．

13. 难度：中等

如图：EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=，那么方程f（x）=0在区间[-100，100]上的根的个数是     ．

15. 难度：中等

定义一种运算，若函数且．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求使f（x）＞2的x的集合．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2lnx-x．
（1）写出函数f（x）的定义域，并求其单调区间；
（2）已知曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线是y=kx-2，求k的值．

17. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF∥BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小为60°．
（1）求证：EF⊥PB；
（2）当点E为线段AB的中点时，求PC与平面BCFE所成角的大小．

18. 难度：中等

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q₁为0.25，在B处的命中率为q₂，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：

ξ		2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

（1）求q₂的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．

19. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

函数的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x）的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列；的项中仅最小，求λ的取值范围；
（3）令函数，0＜x＜1．数列{x_n}满足：，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．证明：．