2010年上海市徐汇区、金山区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合，则A∪B=   

2. 难度：中等

已知△ABC中，，则cosA=    ．

3. 难度：中等

若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），则a₅=    ；前8项的和S₈=    ．（用数字作答）

4. 难度：中等

（1-2x）¹⁰展开式中x³的系数为    （用数字作答）．

5. 难度：中等

若球O₁、O₂表示面积之比，则它们的半径之比=    ．

6. 难度：中等

函数的反函数为    ．

7. 难度：中等

三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为-10，则k=    ．

8. 难度：中等

椭圆+=1的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，则|PF₂|=    ，∠F₁PF₂的大小为     ．

9. 难度：中等

△ABC中，已知AB=2，，则∠ACB的最大值为    ．

10. 难度：中等

有5只苹果，它们的质量分别为125  a  121   b  127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为124，则该样本的标准差s=    （用数字作答）

11. 难度：中等

在极坐标系中，若过点A（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=    ．

12. 难度：中等

某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为．规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是     ．（用数值表示）

13. 难度：中等

已知a≤1时，集合[a，2-a]有且只有3个整数，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[-1.5]=2．若函数（a＞0，a≠1），则g（x）=[f（x）-]+[f（-x）-]的值域为    

二、选择题

15. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

16. 难度：中等

下列函数中，与函数有相同定义域的是（ ）
A．f（x）=log₂
B．
C．f（x）=|x|
D．f（x）=2^x

17. 难度：中等

设p是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知AC，BD为圆O：x²+y²=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为（ ）
A．4
B．4
C．5
D．5

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，已知∠B=45°，∠C=60°，，求△ABC的面积S_△ABC．

20. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为1，M为棱A₁B₁上的点，N为棱BB₁的中点，异面直线AM与CN所成角的大小为，求的值．

21. 难度：中等

已知函数
（1）判断并证明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在x，使f（x）=x，则称x为函数f（x）的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值，并求出不动点x；
（3）若f（x）＜2x在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

设P（a，b）、R（a，2）为坐标平面xoy上的点，直线OR（O为坐标原点）与抛物线交于点Q（异于O）．
（1）若对任意ab≠0，点Q在抛物线y=mx²+1（m≠0）上，试问当m为何值时，点P在某一圆上，并求出该圆方程M；
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆x²+4y²=1上，试问：点Q能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
（3）对（1）中点P所在圆方程M，设A、B是圆M上两点，且满足|OA|•|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切．

23. 难度：中等

设数列{a_n}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（1）若a₁=4，d=2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d=1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求{a_n}的通项公式，若不存在，说明理由；
（3）试问：数列{a_n}为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．