2010年高考前数学新题浏览（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足=3+4i（i是虚数单位），则z=（ ）
A．3+i
B．4-3i
C．2-3i
D．3-i

2. 难度：中等

已知sinx=-3cosx，则=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

3. 难度：中等

以下命题正确的是（ ）
A．α，β都是第一象限角，若cosα＞cosβ，则sinα＞sinβ
B．α，β都是第二象限角，若sinα＞sinβ，则tanα＞tanβ
C．α，β都是第三象限角，若cosα＞cosβ，则sinα＞sinβ
D．α，β都是第四象限角，若sinα＞sinβ，则tanα＞tanβ

4. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

5. 难度：中等

已知O是△ABC内部一点，++=，•=2，且∠BAC=30°，则△OBA的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S_△DEF：S_△EBF：S_△ABF=（ ）

A．4：10：25
B．4：9：25
C．2：3：5
D．2：5：25

7. 难度：中等

已知，且关于x的函数在R上有极值，则的夹角范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15^o且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（ ）
A．5km
B．km
C．4km
D．km

9. 难度：中等

连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项a_n=2^7-2n（n∈N^*），若b_n=log₂a_n，则数列{b_n}的前n项和S_n中最大的是（ ）
A．S₆
B．S₅
C．S₄
D．S₃

11. 难度：中等

在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC的中点，则=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

如图，ABCDEF为正六边形，则以F、C为焦点，且经过A、E、D、B四点的双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

2010年4月14日青海玉树发生7.1级地震，震后由重庆第三军医大学组成的7名医疗小组（含甲乙）奔赴灾区．现将这7名医生分成三个医疗小组，一组3人，另两组每组各2人，则甲乙不分在同一组的分法有（ ）
A．80种
B．90种
C．25种
D．120种

14. 难度：中等

将5名同学分配到A、B、C三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A宿舍，那么不同的分配方案有（ ）
A．76种
B．100种
C．132种
D．150种

15. 难度：中等

用1，3，5，7，9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，若A、B、C的值互不相同，则不同的直线共有（ ）
A．25条
B．60条
C．80条
D．181条

16. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx，x∈（，3π），若方程f（x）=a有三个不同的根，则“三个根从小到大依次成等比数列”是“a=-”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件

17. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB到D，使，当E点在线段AD上移动时，若，则λ-μ的最大值是（ ）

A．1
B．
C．3
D．2

18. 难度：中等

设P是45°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B分别为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长是（ ）
A．2
B．2
C．2
D．4

19. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，若直线AB₁与平面ACC₁A₁所成角为45°，则棱柱的高为（ ）
A．2
B．2
C．
D．1

20. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=2，A A₁=1，则点A到平面A₁BC的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

21. 难度：中等

已知0＜a＜1，则方程a^|x|=|log_ax|的实根个数为n，且（x+1）ⁿ+（x+1）¹¹=a+a₁（x+2）+a₂（x+2）²+…+a₁₀（x+2）¹⁰+a₁₁（x+2）¹¹，则a₁=（ ）
A．9
B．-10
C．11
D．-12

22. 难度：中等

函数f（x）=，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）在[-1，+∞]上为增函数
B．函数f（x）的最小正周期为4
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）无最小值

23. 难度：中等

已知ab≠0，点M（a，b）是圆x²+y²=r²内一点，直线m是以点M为中点的弦所在的直线，直线l的方程是ax+by=r²，则下列结论正确的是（ ）
A．m∥l，且l与圆相交
B．l⊥m，且l与圆相切
C．m∥l，且l与圆相离
D．l⊥m，且l与圆相离

24. 难度：中等

已知边长为a的菱形ABCD，∠A=，将菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，已知θ∈[，]，则两对角线距离的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

25. 难度：中等

有5种颜色可供使用，将一个五棱锥的各侧面涂色，五个侧面分别编有1，2，3，4，5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法数为（ ）
A．420
B．720
C．1020
D．1620

26. 难度：中等

从编号为1到10的10张卡片中任取1张，所得编号是3的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

27. 难度：中等

有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（）=[h（）]′；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是（ ）
A．③
B．①③④
C．①③
D．②③

28. 难度：中等

现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同．现在要从他们5个人当中选择出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高．则不同的选法共有
A．50种
B．49种
C．48种
D．47种

29. 难度：中等

如图，平面α⊥平面β，α∩β=直线l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是（ ）
A．当|CD|=2|AB|时，M，N两点不可能重合
B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与直线l不可能相交
C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交
D．当AB，CD是异面直线时，MN可能与l平行

30. 难度：中等

设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B⊆I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A、B有（ ）
A．146组
B．29组
C．28组
D．16组

31. 难度：中等

四位同学在研究函数（x∈R）时，分别给出下面四个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁，x₂∈R且x₁＜x₂＜0，则一定有；
③若x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则一定有；
④若集合M=[a，b]，N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的有序实数对（a，b）只有一个．
则上述四个结论中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

32. 难度：中等

方程2^sinθ=cosθ在[0，2π）上的根的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

33. 难度：中等

函数y=f（x）的定义域是（-∞，+∞），若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x+a）-f（x）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

34. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义（n∈N）为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设an=|P_nP_n+1|，数列{a_n}的前n项和是S_n，那么的值为（ ）
A．
B．2-
C．2
D．1+

二、解答题

35. 难度：中等

复数z满足z（2+i）=2i-1，则复数z的实部与虚部之和为     ．

36. 难度：中等

设f（x）=|2-x²|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则ab的取值范围是     ．

37. 难度：中等

如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）图中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n≥2）行的第2个数是    ．

38. 难度：中等

函数y=f（x）定义域为（a，b），y=f′（x）在（a，b）上的图象如图，则y=f（x）在区间（a，b）上极大值点的个数为     ．

39. 难度：中等

如图，平面α、β、γ两两互相垂直，长为的线段AB在α、β、γ内的射影的长度分别为、a、b，则a+b的最大值为    ．

40. 难度：中等

口袋里有3个红球，2个白球，质地均匀，形状完全相同，从中任意摸出两个球，两个都是红球的概率     ．

41. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的准线与双曲线交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是     ．

42. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a＜b，E、F分别是AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，当∠CEB=90°时，二面角C-EF-B的平面角的余弦值等于    ．

43. 难度：中等

双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B．若将其中的条件“|PF₁|=2|PF₂|”更换为“|PF₁|=k|PF₂|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是    ．（用k表示）

44. 难度：中等

将正整数排成下表：则数表中的2010出现的行数和列数是分别是第    行和第    列．

45. 难度：中等

若，则a+b=    ．

46. 难度：中等

掷两枚正方体骰子，则掷出“和为8”的概率是    ．

47. 难度：中等

已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=    ．

48. 难度：中等

已知k∈Z，，若，则△ABC是直角三角形的概率是    ．

49. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）=0有3个不等的实根，则实数a的取值范围是    ．

50. 难度：中等

观察下列等式：观察下列等式：
C+C=2³-2，
C+C+C=2⁷+2³，
C+C+C+C=2¹¹-2⁵，
C+C+C+C+C=2¹⁵+2⁷，
…
由以上等式推测到一个一般结论：
对于n∈N^*，C+C+C+…+C=    ．

51. 难度：中等

已知角α终边上一点P（-4，3），求的值．    ．

52. 难度：中等

请阅读下列材料：若两个正实数a₁，a₂满足a₁²+a₂²=1，那么a₁+a₂．证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a₁+a₂）²-8≤0，所以a₁+a₂．根据上述证明方法，若n个正实数满足a₁²+a₂²+…+a_n²=1时，你能得到的结论为    ．

53. 难度：中等

已知1是a²，b²的等比中项，又是，的等差中项，则的值是    ．

54. 难度：中等

从集合{1，2，3，5，7，-4，-6，-8}中任取三个不同的元素，分别作为方程Ax²+By²=C中的A、B、C的值，则此方程表示双曲线的概率为    ．

55. 难度：中等

已知某正态分布的概率密度曲线f（x）=，x∈（-∞，+∞）的图象如图，则函数的解析式为f（x）=    ．

56. 难度：中等

已知P是双曲线的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是    ．

57. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数t使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是     ．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是     ．

58. 难度：中等

设函数f（x）=（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（x））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为    ．