2011年湖南省永州市祁阳县一中高三数学试卷08：常数函数与幂函数的导数（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

2. 难度：中等

若函数f（x）的导函数为f′（x）=-sinx，则函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ ）
A．90°
B．0°
C．锐角
D．钝角

3. 难度：中等

下列求导数运算正确的是（ ）
A．（x+）′=1+
B．（log₂x）′=
C．（3^x）′=3^xlog₃e
D．（x²cosx）′=-2xsin

4. 难度：中等

f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（ ）
A．f（x）=g（x）
B．f（x）=g（x）=0
C．f（x）-g（x）为常数函数
D．f（x）+g（x）为常数函数

5. 难度：中等

设a＞0，f（x）=ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（ ）
A．[0，]
B．[0，]
C．[0，||]
D．[0，||]

二、解答题

6. 难度：中等

设f（x）=x³-3x²-9x+1，则不等式f′（x）＜0的解集是    ．

7. 难度：中等

曲线和y=x²在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是    ．

8. 难度：中等

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前n项和的公式是     ．

9. 难度：中等

（1）求的导数；
（2）求过曲线y=cosx上点且与过这点的切线垂直的直线方程．

10. 难度：中等

设点B在点A的正东方向60cm处，现在A、B两点同时开始运动，A以15cm/s的速度向东，B以10cm/s的速度向北做匀速直线运动，求变动的AB连线长在第2秒末的速率．

11. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=x³-a，x∈[0，+∞），设x₁＞0，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线l．
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴的交点是（x₂，0），证明．