2010年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z₁=3-4i，z₂=-2+3i，则z₁-z₂在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合M={x|0＜x＜2}，集合N={x|x≥1}，则集合M∩（C_UN）等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜1}
D．φ

3. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和为S_n=an²+n（a∈N+），则下列关于数列{a_n}的说法正确的是（ ）
A．{a_n}一定是等差数列
B．{a_n}从第二项开始构成等差数列
C．a≠0时，{a_n}是等差数列
D．不能确定其为等差数列

4. 难度：中等

已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|•|=||||，命题q：∃t∈R，使得=t，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度（单位长度：cm），其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（ ）

A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐
D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐

6. 难度：中等

若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（ ）
A．
B．21cm²
C．
D．24cm²

7. 难度：中等

某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A．f（x）=x²
B．
C．f（x）=x²
D．f（x）=sin

8. 难度：中等

图为f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的图象的一段，则其解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）

A．72种
B．96种
C．108种
D．120种

10. 难度：中等

函数f（x）=-2x²+7x-6与函数g（x）=-x的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．2
C．
D．3

11. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（ ）
A．y²=4
B．y²=8
C．y²=16
D．

12. 难度：中等

若，则b的值所在的区间为（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（4，5）

二、解答题

13. 难度：中等

已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；
④若α∩β=m．n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，且n∥β
其中正确确命题的序号是    （把正确命题的序号都填上）

14. 难度：中等

如图，已知直线l₁∥l₂，点A是l₁，l₂之间的定点，点A到l₁，l₂之间的距离分别为3和2，点B是l₂上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l₁交于点C，则△ABC的面积的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知两个数列{a_n}，{b_n}，满足b_n=3ⁿa_n，且数列{b_n}的前n项和为S_n=3n-2，则数列{a_n}的通项公式为    ．

16. 难度：中等

在双曲线4x²-y²=1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c=，且．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．

18. 难度：中等

一个口袋中有2个白球和n个红球（n≥2，且n∈N^*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P；
（2）若n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），当n为何值时，f（p）最大．

19. 难度：中等

如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分别交BB₁，CC₁于点P、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A′₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，请在图2中解决下列问题：
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）在底边AC上有一点M，满足AM；MC=3：4，求证：BM∥平面APQ．
（3）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx，数列{a_n}满足
（1）求证：当时，不等式恒成立；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：．

22. 难度：中等

如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．
（1）求证：AG•EF=CE•GD；
（2）求证：．

23. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．