2010年安徽省合肥市肥西中学高考数学模拟试卷1（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

过原点和-i在复平面内对应的直线的倾斜角为（ ）
A．
B．-
C．π
D．π

2. 难度：中等

已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

3. 难度：中等

已知点（n，a_n）（n∈N^*）都在直线3x-y-24=0上，那么在数列a_n中有a₇+a₉=（ ）
A．a₇+a₉＞0
B．a₇+a₉＜0
C．a₇+a₉=0
D．a₇•a₉=0

4. 难度：中等

已知椭圆x²+ky²=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆孤，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）
A．1-
B．
C．1-
D．与a的取值有关

7. 难度：中等

n个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2007到2009的箭头方向依次为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

P是双曲线的右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为（ ）
A．-a
B．a
C．-c
D．c

9. 难度：中等

为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（ ）

A．0.27，78
B．0.27，83
C．2.7，78
D．2.7，83

10. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．4π+12

11. 难度：中等

在△ABC所在平面中，点M，N分别满足：，，则△ABM与△ABN的面积之比为（ ）
A．
B．
C．3
D．

12. 难度：中等

在棱长为2的正方体内能自由转动的最大正四面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=0.3^x-log₂x，若f（a）f（b）f（c）＞0且a，b，c是公差为正的等差数列的连续三项，x是函数y=f（x）的一个零点，则下列关系式一定不成立的（ ）
A．x＞b
B．x＜b
C．x＞c
D．x＜a

14. 难度：中等

在如图所示的10块地上选出6块种植A₁、A₂、…、A₆等六个不同品种的蔬菜，每块种植一种不同品种蔬菜，若A₁、A₂、A₃必须横向相邻种在一起，A₄、A₅横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（ ）

A．3120
B．3360
C．5160
D．5520

二、解答题

15. 难度：中等

在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为     ．

16. 难度：中等

不等式的解集是     ．

17. 难度：中等

在的展开式中，x³项的系数为-192，则=    ．

18. 难度：中等

如图是一程序框图，若输入f（x）=sinx，则输出的f（x）=    ．

19. 难度：中等

在△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b•cosC+c•cosb，类比这一结论，推广到空间：在四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S₁、S₂、S₃，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=    ．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x-）+2sin²（x-） （x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合．

21. 难度：中等

已知函数，且给定条件p：“”，
（1）求f（x）的最大值及最小值
（2）若又给条件q：“|f（x）-m|＜2“且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，AB=，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

23. 难度：中等

一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x₁，x₂，记ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．

24. 难度：中等

设数列{a_n}的各项都是正数，a₁=1，，b_n=a_n²+a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：＜1．

25. 难度：中等

（文）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，且a₁=1．
（1）求数列和{b_n}的通项公式；  
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围； 若不存在，请说明理由．

26. 难度：中等

（理）设椭圆的两个焦点是F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点M，使．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线l：y=x+2与椭圆存在一个公共点E，使得|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（3）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，与条件（Ⅱ）下的椭圆交于A、B两点，使得经过AB的中点Q及N（0，-1）的直线NQ满足？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

27. 难度：中等

如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求•的最小值．

28. 难度：中等

已知定义在正实数集上的函数，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．

29. 难度：中等

已知函数在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）若P（x，y）为图象上任意一点，直线l与的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．