2009年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合，集合B={x|x≤1}，那么∁_U（A∩B）等于（ ）
A．或x＞1}
B．
C．或x≥1}
D．

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₂=4，a₄=2，那么a₆的值为（ ）
A．-1
B．1
C．3
D．6

3. 难度：中等

“a＞3”是“|a|＞3”的（ ）
A．充分必要条件
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
D．充分不必要条件

4. 难度：中等

在直角坐标系内，不等式组所表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数的图象（ ）
A．关于直线对称
B．关于直线对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称

6. 难度：中等

某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（ ）
A．360
B．520
C．600
D．720

7. 难度：中等

已知向量=（2，1），=（1，2），则||（λ∈R）的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于A、B两点，若点A的横坐标为x，则点F分有向线段所成的比为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

某行业主管部门所属的企业有800家，按企业固定资产规模分为大型企业﹑中型企业﹑小型企业．大﹑中﹑小型企业分别有80家，320家和400家，该行业主管部门要对所属企业的第一季度生产状况进行分层抽样调查，共抽查100家企业．其中大型企业中应应抽查的企业数为    家．

10. 难度：中等

在的展开式中，各项系数和为    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若b=2asinB，则角A的大小为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=a-2^x的图象过原点，则不等式的解集为    ．

13. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将△ABD沿对角线BD折起到A'BD，使点A'在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为    ；A'D与平面A'BC所成的角的大小为    ．

14. 难度：中等

如图①，有一条长度为2π的铁丝AB，先将铁丝围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（如图②），再把这个圆放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），圆心为C（0，2），铁丝AB上有一动点M，且图③中线段|AM|=m，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧的长度．图③中线段AM所在直线与x轴交点为N（n，0），当m=π时，则n等于    ；当时，则图③中线段AM所在直线的倾斜角的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知tanα=2．
求（I）的值；
（II）的值．

16. 难度：中等

某校对每间教室的空气质量进行检测，分别在上午和下午各进行一次．空气质量每次检测结果分为A级、B级和C级．若两次检测中有C级或都是B级，则该教室的空气质量不合格．已知每间教室空气质量每次检测结果为A级、B级和C级的概率分别为0.8，0.1，0.1，且各次检测结果相互独立．
（Ⅰ）求每间教室的空气质量合格的概率；
（Ⅱ）对高三年级的三个教室进行检测，且各间教室的空气质量互不影响，求空气质量合格的教室的间数恰好为两间的概率．

17. 难度：中等

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D、E分别是BC、A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：BE∥平面A₁DC₁；
（Ⅱ）若AB=BC=AA₁=1，∠ABC=90°．
求二面角B₁-BC₁-E的正切值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²（x+a）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

如图，四边形ABCD的顶点都在椭圆上，对角线AC、BD互相垂直且平分于原点O．
（I）若点A在第一象限，直线AB的斜率为1，求直线AB的方程；
（II）求四边形ABCD面积的最小值．

20. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 当a₂=-1时，求实数λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．