2011年江苏省南通市如皋市白蒲高级中学高考数学模拟试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知复数z₁=2+ai，z₂=2-i，若|z₁|＜|z₂|，则实数a的取值范围是    ．

2. 难度：中等

以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为    ．

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=3，a₂₈+a₂₉+a₃₀=165，则此数列前30项和等于    ．

4. 难度：中等

某算法的伪代码如图：则输出的结果是     ．

5. 难度：中等

某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（°C）	18	13	10	-1
用电量（度）	24	34	38	64

由表中数据，得线性回归方程．当气温为-4°C时，预测用电量的度数约为
    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=alog₂x-blog₃x+3，其中a，b∈R，若，则f（2010）的值为    ．

7. 难度：中等

将圆x²+（y+1）²=3绕直线kx-y-1=0旋转一周，所得几何体的体积为    ．

8. 难度：中等

抛掷一颗骰子的点数为a，得到函数，则“y=f（x）在[0，4]上至少有5个零点”的概率是     ．

9. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC=2，CD=1，∠ABD=45°，则AD=    ．

10. 难度：中等

等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数λ的值是    ．

11. 难度：中等

若椭圆的中心为原点O，右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过F，则椭圆离心率的取值范围为    ．

12. 难度：中等

动点P在平面区域C₁：x²+y²≤2（|x|+|y|）内，动点Q在曲线C₂：（x-4）²+（y-4）²=1上，则|PQ|的最小值为    ．

13. 难度：中等

“已知数列{a_n}为等差数列，它的前n项和为S_n，若存在正整数m，n（m≠n），使得S_m=S_n，则S_m+n=0”．类比上述结论，补完整命题：“已知正项数列{b_n}为等比数列，    ．”

14. 难度：中等

对于集合{a₁，a₂，…，a_n}和常数a，定义：为集合{a₁，a₂，…，a_n}相对a的“正弦方差”，则集合相对a的“正弦方差”为    ．

15. 难度：中等

已知
（1）当时，求函数的最小正周期；
（2）当∥，α-x，α+x都是锐角时，求cos2α的值．

16. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE．

17. 难度：中等

如图，已知椭圆C：的长轴AB长为4，离心率，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明Q点在以AB为直径的圆O上；
（3）试判断直线QN与圆O的位置关系．

18. 难度：中等

某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）．
（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？

19. 难度：中等

函数；
（1）当a=1时，求y=f（x）在[-4，-]上的最值；
（2）若a≥0，求f（x）的极值点．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．
（1）计算a₁，a₂，a₃，并归纳出数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列的前n项积，若不等式A_n＜f（a）-对一切n∈N^*都成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

设数列{a_n}，{b_n}满足a_n+1=2a_n+3b_n，b_n+1=2b_n，且满足，试求二阶矩阵M．

22. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

23. 难度：中等

甲从装有编号为1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一张，乙从装有编号为2，4的卡片的箱子中任意取一张，用ξ₁，ξ₂分别表示甲、乙取得的卡片上的数字．
（Ⅰ）求概率P（ξ₁＞ξ₂）；
（Ⅱ）记，求η的分布列与数学期望．

24. 难度：中等

已知正项数列{a_n}中，对于一切的n∈N^*均有a_n²≤a_n-a_n+1成立．
（1）证明：数列{a_n}中的任意一项都小于1；
（2）探究a_n与的大小，并证明你的结论．