2009-2010学年广东省中山市纪念中学、深圳市外国语学校、广州市执信中学高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={0，4，a}，B={1，a⁴}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，且有，，则=（ ）
A．i
B．-i
C．-1
D．1

3. 难度：中等

一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．
其中正确的是（ ）

A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

4. 难度：中等

下列结论错误的个数是（ ）
（1）命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题；
（2）“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真命题；
（3）命题p：∀x∈[0，1]，e^x≥1，命题q：∃x∈R，x²+x+1＜0，则p∨q为真；
（4）若实数x，y∈[0，1]，则满足x²+y²＞1的概率为．
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ω|＜）的图象如图所示，为得到g（x）=sin3x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

6. 难度：中等

分别来自广州执信中学、深圳外国语学校、中山纪念中学的3校学生参观代表团被安排在周一至周五的5天中参观上海世博会，要求每校学生代表团参观一天且每天至多安排一校学生参观代表团，并要求广州执信中学学生代表团安排在另外两校学生代表团前面，则不同的安排方法共有（ ）
A．20种
B．30种
C．40种
D．60种

7. 难度：中等

将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l₁：ax+by=2，l₂：x+2y=2平行的概率为P₁，相交的概率为P₂，则复数P₁+P₂i所对应的点P与直线l₂：x+2y=2的位置关系（ ）
A．P在直线l₂的右下方
B．P在直线l₂的右上方
C．P在直线l₂上
D．P在直线l₂的左下方

8. 难度：中等

如右图述阵称为“森德拉姆筛”，记第i行第j列的数为A_ij，对任意正整数为A_ij，必有正整数C使得A_ij+C为合数（合数的定义是：合数是除了1和它本身还能被其他的正整数整除的正整数，除2之外的偶数都是合数），则这样的C可以是（ ）

A．20
B．11
C．8
D．4

二、解答题

9. 难度：中等

已知向量，，若⊥x轴，则=    ．

10. 难度：中等

如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为    ．

11. 难度：中等

已知椭圆的焦距为2c，且a，b，c依次成等差数列，则椭圆的离心率为     ．

12. 难度：中等

对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a_i，具体如下表所示：

观测次数i	1	2	3	4	5	6	7	8
观测数据ai	40	41	43	43	44	46	47	48

在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是    ．

13. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积．若，则x+y=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）被曲线  （θ为参数，θ∈R）所截，则截得的弦的长度是    ．

15. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点．过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=    ．

16. 难度：中等

已知：向量，，cos2x），（0＜x＜π），函数．
（1）若f（x）=0，求x的值；
（2）求函数f（x）的取得最大值时，向量与的夹角．

17. 难度：中等

设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
（Ⅰ）当p=q=时，求E（ξ）及D（ξ）；
（Ⅱ）当，时，求ξ的分布列和E（ξ）．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2．
（1）证明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大小．

19. 难度：中等

定义一种运算△：n△m=n•a^m（m，n∈N，a≠0）
（1）若数列{a_n}（n∈N^*）满足a_n=n△m，当m=2时，求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设数列{c_n}（n∈N^*）的通项满足c_n=n△（n-1），试求数列{c_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知椭圆的上顶点为A（0，1），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设圆O：，过该圆上任意一点作圆的切线l，试证明l和椭圆C₁恒有两个交点A，B，且有；
（3）在（2）的条件下求弦AB长度的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函数f（x）图象关于原点中心对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若在[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a_n+1=g（a_n），a₁=2，（n∈N^*），
试证明：