2010年天津市十二区县重点学校高三联考数学试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²＜4}，N={x|x²-2x-3＜0}，则集合M∩N等于（ ）
A．{x|x＜-2}
B．{x|x＞3}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}

2. 难度：中等

下列各选项中，与cos2008°最接近的数是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的函数是（ ）
A．f（x）=sin
B．f（x）=-|x+1|
C．
D．

4. 难度：中等

若直线mx-ny=4与⊙O：x²+y²=4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．至多为1
B．2
C．1
D．0

5. 难度：中等

α，β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：
①a∥α、b⊂β；②a⊥α．b∥β；
③a⊥α．b⊥β；④a∥α、b∥β且a与α的距离等于b与β的距离，其中是a⊥b的充分条件的有（ ）
A．①④
B．①
C．③
D．②③

6. 难度：中等

正项等比数列{a_n}满足a₂a₄=1，S₃=13，b_n=log₃a_n，则数列{b_n}的前10项和是（ ）
A．65
B．-65
C．25
D．-25

7. 难度：中等

天津市某中学拟在实施新课程标准的高二年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路与布尔代数》三门选修课．在本校任教高二的10名数学教师中，有3人只能教《矩阵与变换》，有3人只能教《信息安全与密码》，另有2人只能教《开关电路与布尔代数》，这三门课程都能教的只有2人，现要从这10名教师中选出9人分别担任这三门课程的任课教师，且每门课程安排3名教师，则不同的安排方案有（ ）
A．12种
B．16种
C．18种
D．24种

8. 难度：中等

设a＞0为常数，动点M（x，y）（y≠0）分别与两定点F₁（-a，0），F₂（a，0）的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为双曲线，则λ的值为（ ）
A．2
B．-2
C．3
D．

9. 难度：中等

已知，=a，且函数y=alnx++c在（1，e）上具有单调性，则b的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]∪[e，+∞]
B．（-∞，0]∪[e，+∞]
C．（-∞，e]
D．[1，e]

10. 难度：中等

设a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂），定义一种向量积：a⊗b=（a₁，b₁）⊗（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知m=，n=，点P（x，y）在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（x，f（x））=m⊗n（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别（ ）
A．2，π
B．2，4π
C．，4π
D．，π

二、解答题

11. 难度：中等

设a，b∈R，，=    ．

12. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，若AD与平面AA₁CC₁所成的角为a，则sina=    ．

13. 难度：中等

已知函数图象C'与C：关于直线y=x对称，且图象C'关于（2，-3）对称，则a的值为    ．

14. 难度：中等

设f（x）=（1+x）⁶（1-x）⁵，则函数f'（x）中x²的系数为    ．

15. 难度：中等

如果实数x、y满足，目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值3，那么实数k的值为    ．

16. 难度：中等

若函数y=f（x）在x=x处满足关系
（1）f（x）在x=x处连续
（2）f（x）在x=x处的导数不存在，就称x是函数f（x）的一个“折点”．
下列关于“折点”的四个命题
①x=0是y=|x|的折点；
②x=0是的折点；
③x=0是的折点；
④x=0是的折点；
其中正确命题的序号是    ．

17. 难度：中等

已知向量，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinB，sinC成等比数列，且，求c的值．

18. 难度：中等

有甲、乙两个篮球运动员，每人各投篮三次，甲三次投篮命中率均为；乙第一次在距离8米处投篮命中率为，若第一次投篮未中，则乙进行第二次投篮，但距离为12米，如果又未中，则乙进行第三次投篮，并且在投篮时距离为16米，乙若投中，则不再继续投篮，且知乙命中的概率与距离的平方成反比．
（I）求乙投篮命中的概率；
（Ⅱ）求甲三次投篮命中次数ξ的期望与方差．

19. 难度：中等

如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面α内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD=60°，再在α的上方，分别以△ABD与△CBD为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，∠APB=90°．
（Ⅰ）求证：PQ⊥BD；
（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（Ⅲ）求点P到平面QBD的距离．

20. 难度：中等

已知函数，在x=1处取得极值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l与图象相切于点P（x，y），求直线l的斜率的取值范围．

21. 难度：中等

数列{a_n}满足a1=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^×）
（Ⅰ）设C_n=log₅（a_n+3），求证{C_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设，数列{b_n}的前n项的和为T_n，求证：．

22. 难度：中等

抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点、离心率的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）当m=1时求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线L经过椭圆C₂的右焦点F₂与抛物线L₁交于A₁，A₂两点．如果弦长|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求直线L的斜率；
（3）是否存在实数m，使△PF₁F₂的边长是连续的自然数．