2007年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x∈Z|-10≤x≤-1}，B={x∈Z||x|≤5}，则A∩B中元素的个数是（ ）
A．5
B．6
C．15
D．16

2. 难度：中等

若a，b∈R，则使|a|+|b|＜1成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a+b＜1
B．|a|＜1且|b|＜1
C．a²+b²＜1
D．且

3. 难度：中等

棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为（ ）
A．2π
B．3π
C．
D．12π

4. 难度：中等

集合M={（x，y）|y≤x}，P={（x，y）|x+y≤2}，S={（x，y）|y≥0}，若T=M∩P∩S，点E（x，y）∈T，则x+3y的最大值是（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

若向量满足且，则实数k的值为（ ）
A．-6
B．6
C．3
D．-3

6. 难度：中等

已知a、b、c为△ABC三内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，则c的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．

7. 难度：中等

直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直，a、b∈R且ab≠0，则|ab|的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

8. 难度：中等

根据表格中的数据，可以判定方程e^x-x-2=0的一个根所在的区间为（ ）

x	-1		1	2	3
e^x	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+2	1	2	3	4	5

A．（-1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

9. 难度：中等

点P满足：到点A（1，0）和直线x=-1的距离相等，且到直线l：y=x的距离为，满足条件的点P的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，且点P到直线A₁D₁的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

二、解答题

11. 难度：中等

直线被圆所截得的弦长为    ．

12. 难度：中等

的展开式中x²的系数为    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=2^x，其反函数记为f^-1（x），则函数y=f（x）+f^-1（x）（x∈[1，2]）的值域为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x+1）为奇函数，函数f（x-1）为偶函数，且f（0）=2，则f（4）=    ．

15. 难度：中等

甲乙两人投篮投中的概率分别为、，现两人各投两次，则投中总数为2的概率为    ．

16. 难度：中等

一个同心圆形花坛分为两个部分，如右图，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分成5等份为a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，则不同的种植的方法为    种．

17. 难度：中等

已知函数最小正周期为π．
（1）求f（x）在区间上的最小值；
（2）求函数f（x）图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标．

18. 难度：中等

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，，AB=AD=A₁B=2CD，侧面A₁ADD₁为正方形．
（1）求直线A₁A与底面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角C-A₁B-A正切值的大小；
（3）在棱C₁C上是否存在一点P，使得 D₁P∥平面A₁BC，若存在，试说明点P的位置；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足3S_n=4014+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）表示该数列的前n项的积，n取何值时，f（n）有最大值？

20. 难度：中等

已知点A，B，C都在椭圆上，AB、AC分别过两个焦点F₁、F₂，当时，有成立．
（1）求此椭圆的离心率；
（2）设．当点A在椭圆上运动时，求证m+n始终是定值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p²+q²+r²，③p³+q³+r³是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设，数列{a_n}满足a_n+1=H（a_n）（n∈N^*），且a₁∈（0，1），试判断a_n+1与a_n的大小，并证明之．