2010年广东省惠州市惠阳一中实验学校高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

特称命题“∃x∈R，使x²+1＜0”的否定可以写成（ ）
A．若x∉R，则x²+1≥0
B．∃x∉R，x²+1≥0
C．∀x∈R，x²+1＜0
D．∀x∈R，x²+1≥0

2. 难度：中等

10、已知函数是偶函数，f（x）=log_ax对应的图象如图所示，则g（x）=（ ）

A．2^x
B．
C．log₂（-x）
D．-log₂（-x）

3. 难度：中等

对于任意的两个数对（a，b）和（c，d），定义运算（a，b）*（c，d）=ad-bc，若（1，-1）*（z，zi）=1-i，则复数z为（ ）
A．2+i
B．2-i
C．i
D．-i

4. 难度：中等

设数列{a_n}的通项公式为a_n=20-4n，前n项和为S_n，则S_n中最大的是（ ）
A．S₃
B．S₄或S₅
C．S₅
D．S₆

5. 难度：中等

如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）

A．4
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=（ ）
A．4
B．-6
C．6
D．-7

7. 难度：中等

如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若关于x的不等式2-|x-a|＞x²至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，且A=30°．现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，并以此为依据求△ABC的面积．（只需写出一个选定方案即可）你选择的条件是    （用序号填写）；由此得到的△ABC的面积为    ．

11. 难度：中等

对于∀x∈R⁺，用F（x）表示log₂x的整数部分，则F（1）+F（2）+…+F（1023）=    ．

12. 难度：中等

“世界睡眠日”定在每年的3月21日．2009年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识．为此某网站2009年3月13日到3月20日持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示．为了对数据进行分析，采用了计算机辅助计算．分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S值为    ，S的统计意义是    ．

序号 （i）	分组 睡眠时间	组中值 （mi）	频数 （人数）	频率 （fi）
1	[4，5）	4.5	8	0.04
2	[5，6）	5.5	52	0.26
3	[6，7）	6.5	60	0.30
4	[7，8）	7.5	56	0.28
5	[8，9）	8.5	20	0.10
6	[9，10]	9.5	4	0.02

13. 难度：中等

已知实数a，b，c满足a+2b-c=1，则a²+b²+c²的最小值是    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C 为切点，且OC=3，AB=4，延长OA到D点，则△ABD的面积是    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以o为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为
    ．

16. 难度：中等

已知函数．
（1）若点A（α，y）（）为函数f（x）与g（x）的图象的公共点，试求实数α的值；
（2）设x=x是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2x）的值；
（3）求函数的值域．

17. 难度：中等

如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）．
（1）求证：AB∥平面DNC；
（2）当DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30°？

18. 难度：中等

甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（Ⅰ）若右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
注：“n=0”，即为“n←0”或为“n：=0”．

19. 难度：中等

有三个生活小区，分别位于A，B，C三点处，且，．今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，建立坐标系如图，且．
（Ⅰ）若希望变电站P到三个小区的距离和最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三个小区的最远距离为最小，点P应位于何处？

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中的各项均为正数，且满足．记b_n=a_n²-a_n，数列{b_n}的前n项和为x_n，且．
（Ⅰ）数列{b_n}和{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：．

21. 难度：中等

如图，设抛物线c₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e=的椭圆c₂与抛物线c₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c₂的右焦点F₂，与抛物线c₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．