2010年湖北省天门中学高三5月模拟数学试卷A（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A₁，A₂满足A₁∪A₂=A，则记[A₁，A₂]是A的一组双子集拆分．规定：[A₁，A₂]和[A₂，A₁]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2}，那么A的不同双子集拆分共有（ ）
A．8组
B．7组
C．5组
D．4组

2. 难度：中等

如图，弹簧挂着小球作上下振动，时间t（s）与小球相对平衡位置（即静止的位置）的高度h（cm）之间的函数关系式是（t∈[0，+∞）），则小球最高点与最低点的距离、每秒能往复振动的次数分别为（ ）

A．2，2
B．4，2
C．4，
D．2，

3. 难度：中等

在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）
A．若向量a=（x，y），向量b=（-y，x），（xy≠0），则a⊥b
B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是（）（）=0
C．点G是△ABC的重心，则++=
D．△ABC中，和的夹角等于180°-A

4. 难度：中等

设0＜θ＜π，若cosθ+sinθi=，则θ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

的展开式中的常数项为a，最后一项的系数为b，则a+b的值为（ ）
A．14
B．13
C．15
D．16

6. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC₁和BB₁的中点，则直线DE与平面BB₁C₁C所成的角为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是（ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为10

8. 难度：中等

“f（x）=是定义在（0，+∞）上的连续数”是“直线（a²-a）x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则x₂₀₁₀的值是（ ）
A．4020
B．4019
C．4020
D．4019

10. 难度：中等

已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a^xg（x），，在有穷数列（ n=1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

若平面区域是一个梯形，则实数k的取值范围是    ．

12. 难度：中等

某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择：

项目	A	B	C	D	E	F
投资额/亿元	5	2	6	4	6	1
利润/亿元	0.55	0.4	0.6	0.5	0.9	0.1

设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是    ．（只需写出一种符合条件的项目组合的代号）

13. 难度：中等

球O与单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各面都相切，P是球面O上一动点，AP与面ABCD所成角为α，则tanα的最大值为    ．AP的最大值为    ．

14. 难度：中等

函数y=kx+b，其中k，b（k≠0）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数f（x），在点x附近一点x的函数值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x）+f'（x）（x-x），利用这一方法，的近似代替值是    ．

15. 难度：中等

定义域为R的函数的方程有5个不同的根x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²等于    ．

16. 难度：中等

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；
（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．

17. 难度：中等

在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生：
（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）设该考生所得分数为ξ，求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=，EF=2．
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为45°？

19. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

20. 难度：中等

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y=；（2）y=4lgx-3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

21. 难度：中等

设函数R），函数f（x）的导数记为f'（x）．
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，记，求证：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N^*）；
（3）设关于x的方程f'（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．试问：是否存在正整数n，使得？说明理由．