2010年江西省九江市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A=，则A∩B=（ ）
A．
B．
C．（-1，4]
D．[2，4]

2. 难度：中等

设0＜θ＜π，若cosθ+sinθi=，则θ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若m、n是空间两条不同直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，对于下列命题：
①m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β②若m、n与所成的角相等，则m∥n
③m⊥α，m⊥n⇒n∥α④α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

4. 难度：中等

以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）
A．x²+y²-10x+9=0
B．x²+y²-10x-9=0
C．x²+y²+10x+9=0
D．x²+y²+10x-9=0

5. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

6. 难度：中等

集合M={（x，y）|x≥1}，P={（x，y）|x-y+1≤0}，S={（x，y）|2x-y-2≤0}，若的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx，x∈（，3π），若方程f（x）=a有三个不同的根，则“三个根从小到大依次成等比数列”是“a=-”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB到D，使，当E点在线段AD上移动时，若，则λ-μ的最大值是（ ）

A．1
B．
C．3
D．2

9. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x）-f（x-a）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A、B⊆I，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A、B有（ ）
A．146组
B．29组
C．28组
D．16组

11. 难度：中等

若函数y=f（x）满足：①对任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab；②y=f（x）图象的一条对称轴方程是x=k；③y=f（x）在区间[1，2]上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤1
B．k≥2
C．k≤2
D．k≥1

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设的值为（ ）
A．
B．2-
C．2+
D．1+

二、解答题

13. 难度：中等

设是单位向量，且，则的值为     ．

14. 难度：中等

已知P是双曲线上的动点，F₁、F₂分别是其左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

如图，平面α、β、γ两两互相垂直，长为的线段AB在α、β、γ内的射影的长度分别为、a、b，则a+b的最大值为    ．

16. 难度：中等

定义域为R的函数的方程有5个不同的根x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，则x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²等于    ．

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若关于x的方程内有实数解，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

2009年我市城市建设取得最大进展的一年，正式拉开了从“两湖”时代走向“八里湖”时代的大幕．为了建设大九江的城市框架，市政府大力发展“八里湖”新区，现有甲乙两个项目工程待建，请三位专家独立评审．假设每位专家评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是，每个项目每获得一位专家“支持”则加1分，“不支持”记为0分，令ξ表示两个项目的得分总数．
（1）求甲项目得1分乙项目得2分的概率；（2）求ξ的数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知函数．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为1，求实数a的取值范围；（其中e为自然对数的底数）（3）若上恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点．
（1）求证：AF⊥CD；
（2）求直线AC与平面CBE所成角的大小．

21. 难度：中等

如图，A、B分别是椭圆的公共左右顶点，P、Q分别位于椭圆和双曲线上且不同于A、B的两点，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂+k₃+k₄=0．（1）求证：O、P、Q三点共线；（O为坐标原点）
（2）设F₁、F₂分别是椭圆和双曲线的右焦点，已知PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

22. 难度：中等

已知数列）．
（1）试求a的取值范围，使得a_n+1＞a_n恒成立；
（2）若a=；
（3）若a=2，记T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|（n=2，3，…），求证：T_n＜1．