2011年河北省衡水市冀州中学高考仿真数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x²-1＞0}，B={x|log₂x＞0|}，则A∩B等于（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＞1或x＜-1}

2. 难度：中等

若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+2cos2α的值是（ ）
A．-
B．-
C．-2
D．

3. 难度：中等

已知{a_n}是首项为1的等比数列，s_n是{a_n}的前n项和，且9s₃=s₆，则数列的前5项和为（ ）
A．或5
B．或5
C．
D．

4. 难度：中等

过直线y=x上的一点作圆x²+（y-4）²=2的两条切线L₁、L₂，当L₁与L₂关于y=x对称时，L₁与L₂的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

5. 难度：中等

在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设x、y满足约束条件，则取值范围是（ ）
A．
B．[1，3]
C．[-1，5]
D．[1，5]

7. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F₁，F₂，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

正方体ABCD，A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CC₁的中点，则AE、BF所成的角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设f^-1（x）是函数的反函数，则使f^-1（x）＞1成立的x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（1，）

11. 难度：中等

如图，已知A，B，C是表面积为48π的球面上的三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则二面角O-AB-C的大小为：（ ）

A．
B．
C．arccos
D．arccos

12. 难度：中等

设双曲线的右焦点为F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两实根分别为x₁，x₂，则P（x₁，x₂）（ ）
A．必在圆x²+y²=2内
B．必在圆x²+y²=2外
C．必在圆x²+y²=2上
D．以上三种情况都有可能

二、解答题

13. 难度：中等

不等式2|x|+|x-1|＜2的解集是    ．

14. 难度：中等

已知向量的模为1，且，满足|-|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于    ．

15. 难度：中等

在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径γ=．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=    ．

16. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂．P是椭圆上一点，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若0°＜∠PF₁F₂＜60°则该椭圆的离心率的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知向量，，函数
（I）求函数f（x）的解析式，并求其最小正周期；
（II）求函数图象的对称中心坐标与对称轴方程和单调递增区间．

18. 难度：中等

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株、设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响、求移栽的4株大树中：
（Ⅰ）至少有1株成活的概率；
（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，D，E分别为AB，PC的中点．
（1）在BC边上是否存在一点F，使得PB∥平面DEF．
（2）若∠PAC=∠PBC=90°，证明：AB⊥PC；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，AC=，求三棱锥P-ABC的体积．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项为，公比的等比数列，设，数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．

22. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值．