2011年湖北省黄冈市高三三月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集I={1，2，3，4，5，6}，M={3，4，5}，N={1，3，6}，则集合{2，7}等于（ ）
A．（C_UM）∩（C_IN）
B．（C_UM）∪（C_IN）
C．M∩N
D．M∩N

2. 难度：中等

已知复数，函数图象的一个对称中心可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，然后再将图象向左平移1个单位，所得图象的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，已知a₁+a₄+a₇=99，a₂+a₅+a₈=93，若对任意n∈N*，都有S_n≤S_k成立，则k的值为（ ）
A．22
B．21
C．20
D．19

5. 难度：中等

随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）

A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β

7. 难度：中等

将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数，数到最末一个球，黑球的个数大于或等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的顶点在原点，它的准线与双曲线C₁的左准线重合，若双曲线C₁与抛物线C₂的交点P满足PF₂⊥F₁F₂，则双曲线C₁的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若多项式（1+x）^m=a+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m满足：a₁+2a₂+3a₃+…+ma_m=80，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若f（x）=，则f（1）+f（2）+f（3）…+f（2011）+f（）+f（）+…+f（）=（ ）
A．2009
B．2010
C．2012
D．1

二、解答题

11. 难度：中等

某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为    人．

12. 难度：中等

已知是第三象限角，则    ．

13. 难度：中等

若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC的外心，则的值为    ．

15. 难度：中等

设a＞0，b＞0，h=min{a，}，其中min{x，y}表示x，y两数中最小的一个数，则h的最大值为    ．

16. 难度：中等

已知向量，向量，．
（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面积为，求的值．

17. 难度：中等

某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P₂，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；
（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P₂的取值范围．

18. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均为60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求证：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2x+alnx．
（1）若a＜0证明：对于任意的两个正数x₁，x₂，总有≥f（）成立；
（2）若对任意的x∈[1，e]，不等式：f（x）≤（a+3）x-x²恒成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．

21. 难度：中等

设S_n是数列a_n的前n项和，点P（a_n，S_n）（n∈N₊，n≥1）在直线y=2x-2上．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）记，数列b_n的前n项和为T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）设正数数列c_n满足log₂a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，求数列c_n中的最大项．