2011年湖南省益阳市沅江市高三质量检测数学试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知△ABC的三顶点坐标为A（3，0），B（0，4），C（0，0），D点的坐标为（2，0），向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知，则cos（π-2α）=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数f（x）=ax³+bx在x=处有极值，则ab的值为（ ）
A．3
B．-3
C．0
D．1

4. 难度：中等

经过椭圆+y²=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（ ）
A．-3
B．-
C．-或-3
D．±

5. 难度：中等

已知数列{a_n}中，若2a_n=a_n-1+a_n+1（n∈N^*，n≥2），则下列各不等式中一定成立的是（ ）
A．a₂a₄≤a₃²
B．a₂a₄＜a₃²
C．a₂a₄≥a₃²
D．a₂a₄＞a₃²

6. 难度：中等

已知命题p：函数y=log_0.5（x²+2x+a）的值域为R，命题q：函数y=-（5-2a）^x是减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1
B．a＜2
C．1＜a＜2
D．a≤1或a≥2

7. 难度：中等

关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③

8. 难度：中等

某水库建有10个泄洪闸．现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在按照一个不变的速度增加．为了防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用3个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为（ ）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个

二、解答题

9. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的虚部为    ．

10. 难度：中等

设实数x、y满足，则z=x-2y的最小值为   

11. 难度：中等

现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为    ．

12. 难度：中等

设常数a＞0，展开式中x³的系数为，则=    ．

13. 难度：中等

某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为    ．

14. 难度：中等

函数y=f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[-1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）-f（-x）＞-1的解集为    ．

15. 难度：中等

某校对文明班的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出0＜c＜d＜e＜b＜a，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为    ．（填入a，b，c，d，e中的某个字母）

16. 难度：中等

已知向量=（sinB，1-cosB）与向量=（2，0）的夹角为，其中A、B、C是△ABC的内角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

17. 难度：中等

在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为、．
（Ⅰ）记先回答问题A获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？
（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．

18. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）（理）求二面角N-CM-B的正切值；
（3）求点B到平面CMN的距离．

19. 难度：中等

已知平面上一定点C（4，0）和一定直线l：x=1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且．
（1）问：点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，-2）？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过构造一个新的数列{b_n}，是否存在一个非零常数c，使{b_n}也为等差数列；
（3）求的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p²+q²+r²，③p³+q³+r³是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设，数列{a_n}满足a_n+1=H（a_n）（n∈N^*），且a₁∈（0，1），试判断a_n+1与a_n的大小，并证明之．