2011年广东省佛山市顺德区高考热身数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知z为复数，且满足i•z=2-3i，则复数z的模为（ ）
A．
B．5
C．
D．13

2. 难度：中等

已知A={x|x²≤1}，B={x|x＜a}，且满足A∪B=B，则实数a的范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．[1，+∞）
C．（-1，1）
D．（-∞，1]

3. 难度：中等

要得到函数y=sin2x的图象，可由函数的图象按下列哪种变换而得到（ ）
A．向左平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，对角线AC、DB相交于点O，若，，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设x∈[0，3]，y∈[0，4]，则点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设1＜x＜e，则“x（lnx）²＜1”是“xlnx＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

已知最小正周期为2的函数y=f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数g（x）=f（x）-|log₅x|的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

二、解答题

9. 难度：中等

公差不等于0的等差数列{a_n}中，a₂，a₃，a₅构成等比数列，S₇=42，则a_n=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin3x+9x，则=    ．

11. 难度：中等

工厂从一批正四棱柱形状的零件中随机抽查了n件，测得它们底面边长依次是a₁、a₂、…、a_n．则程序框图输出的σ=    ．

12. 难度：中等

如图，∠MON的边OM上有四点A₁，A₂，A₃，A₄，ON上有三点B₁，B₂，B₃，则以O，A₁，A₂，A₃，
A₄，B₁，B₂，B₃为顶点的三角形共有    个．

13. 难度：中等

已知两定点M（-1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是   
①y=x+1②y=2③y=-x+3④y=-2x+3

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C₁的极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+k=0，其中k为正数．以极点为坐标原点，极轴为x正半轴，建立平面直角坐标系，在此坐标系下，曲线C₂的方程为（α为参数）．若曲线C₁与曲线C₂相切，则
k=    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，半径是的⊙O中，AB是直径，MN是过点A的⊙O的切线，AC，BD相交于点P，且∠DAN=30°，CP=2，PA=9，又PD＞PB，则线段PD的长为    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且（其中S_△ABC为△ABC的面积）．
（1）求sinA的值；
（2）若b=2，△ABC的面积S_△ABC=3，求a的值．

17. 难度：中等

某公司对工厂A的一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．
（1）求图中x的值；
（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；
（3）经过考察后，该公司决定在2011年年初投资到工厂A50万元，到年底可能获利32%，也可能亏损16%，且这两种情况发生的概率分别为合格产品和不合格产品的概率（若产品净重在[98，104）为合格产品，其余为不合格产品）．设2011年底公司的投资总资产（本金+利润）为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为，CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，CD=4，BC=2，且BE=1，．
（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE；
（2）求几何体ABCDE的体积；
（3）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）已知对任意x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

20. 难度：中等

.已知圆O：x²+y²=b²与直线相切．
（1）求以圆O与y轴的交点为顶点，直线在x轴上的截距为半长轴长的椭圆C方程；
（2）已知点A，若直线与椭圆C有两个不同的交点E，F，且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数；问直线的斜率是否为定值？若是求出这个定值；若不是，请说明理由．

21. 难度：中等

数列{a_n}中，若存在常数M，∀n∈N*，均有|a_n|≤M，称数列{a_n}是有界数列；把叫数列{a_n}的前n项邻差和，数列{L_n}叫数列{a_n}的邻差和数列．
（1）若数列{a_n}满足，∀n∈N*，均有|a_n+3|+|a_n-1|≤6恒成立，试证明：{a_n}是有界数列；
（2）试判断公比为q的正项等比数列{a_n}的邻差和数列{L_n}是否为有界数列，证明你的结论；
（3）已知数列{a_n}、{b_n}的邻差和{L_n}与{L'_n}均为有界数列，试证明数列{a_nb_n}的邻差和数列{L''_n}也是有界数列．