2010年湖北省实验中学高考最后冲刺数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h（x）=x-a，且g（x）在x=1处取得极值．
（1）求a的值及h（x）的单调区间；
（2）求证：当1＜x＜e²时，恒有x＜；
（3）把h（x）对应的曲线C₁向上平移6个单位后得到曲线C₂，求C₂与g（x）对应曲线C₃的交点的个数，并说明道理．

2. 难度：中等

已知函数，a_n+1=f（a_n），对于任意的n∈N^*，都有a_n+1＜a_n．
（Ⅰ）求a₁的取值范围；
（Ⅱ）若a₁=，证明a_n＜1+（n∈N₊，n≥2）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明-n＜+1．

二、选择题

3. 难度：中等

若a∈R，则a=1是复数z=a²-1+（a+1）i是纯虚数的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设函数f（x）=x²+2（-2≤x＜0），其反函数为f^-1（x），则f^-1（3）=（ ）
A．-1
B．1
C．0或1
D．1或-1

5. 难度：中等

已知在等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₄+a₆=，则等比数列{a_n}的公比q的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．8

6. 难度：中等

已知函数，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（ ）
A．当时，f（x）的最小值为
B．当时，f（x）的最小值为
C．当时，f（x）的最小值为
D．对任意的b＞0，f（x）的最小值均为

7. 难度：中等

若半径是R的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图是函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象，M、N分别是最大、最小值点，且，则A•ω的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设曲线y=在点（，2）处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

10. 难度：中等

用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（ ）
A．120
B．72
C．48
D．36

11. 难度：中等

某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本费用为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为1千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

12. 难度：中等

已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，使  （O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

13. 难度：中等

设集合A={y|y=2x+1，x∈R}，B={y|y=-x²，x∈R}，则集合A∩B=    ．

14. 难度：中等

在二项式（1-3x）ⁿ的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x²项的系数是    ．（用数字作答）

15. 难度：中等

随机变量ξ服从正态分布N（50，16），若P（ξ＜40）=0.3，则P（40＜ξ＜60）=    ．

16. 难度：中等

已知，且满足，则向量在方向上的投影等于    ．

17. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[-1.5]=2．若函数（a＞0，a≠1），则g（x）=[f（x）-]+[f（-x）-]的值域为    

18. 难度：中等

已知△ABC的周长为，且．
（I）求边长a的值；
（II）若S_△ABC=3sinA，求cosA的值．

19. 难度：中等

某社区举办2011年西安世园会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世园会会徽”或“长安花”（世园会吉祥物）图案，参加者从盒中一次抽取卡片两张，记录后放回．若抽到两张都是“长安花”卡即可获奖．
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“长安花”卡？主持人说：我只知道若从盒中抽两张都不是“长安花”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（Ⅱ）现有甲、乙、丙、丁四人每人抽奖一次，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ．

20. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC₁上．
（1）试确定点N的位置，使AB₁⊥MN；
（2）当AB₁⊥MN时，求二面角M-AB₁-N的大小．

21. 难度：中等

已知点B′为圆A：（x-1）²+y²=8上任意一点、点B（-1，0）．线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点M（x，y）为曲线E上任意一点．求证：点关于直线xx+2yy=2的对称点为定点、并求出该定点的坐标．