2011年福建省莆田市高三适应性练习数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin（-225°）的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已条变量x，y满足则x+y的最小值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

3. 难度：中等

在递减等差数列{a_n}中，若a₁+a₅=0，则s_n取最大值时n等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．2或3

4. 难度：中等

下列命题中，真命题的个数有（ ）
①；
②∃x∈R，x²+2x+2＜0；
③函数y=2^-x是单调递减函数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A．f（x）=x²
B．
C．f（x）=x²
D．f（x）=sin

6. 难度：中等

已知函数，则对任意x₁，x₂∈R，若0＜|x₁|＜|x₂|，下列不等式成立的是（ ）
A．f（x₁）+f（x₂）＜0
B．f（x₁）+f（x₂）＞0
C．f（x₁）-f（x₂）＞0
D．f（x₁）-f（x₂）＜0

7. 难度：中等

由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图相同如右图所示，其中视图中四边形ABCD是边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知双曲线x²-y²=1与直线交于A、B两点，满足条件（O为坐标原点）的点C也在双曲线上，则点C的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．0个或1个或2个

9. 难度：中等

若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是 尖子生的是（ ）
A．甲同学：均值为2，中位数为2
B．乙同学：均值为2，方差小于1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，关于x的方程f（x）=x在区间[a，b]上根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且仅有一个实数根
C．恰有两个实数根
D．有无数个不同的实数根

二、解答题

11. 难度：中等

已知复数Z=a+bi（其中i为虚数单位），若|a|≤1且|b|≤1，则|Z|≤1的概率为    ．

12. 难度：中等

P为抛物线y²=4x上一动点，则点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和的最小值等于    ．

13. 难度：中等

已知（1-x）⁵=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵，则a₂+a₄的值等于    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，∠A=60°，b=1，，则等于    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=    ．

16. 难度：中等

随机变量X的分布列如下表如示，若数列{p_n}是以p₁为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q（p₁，q）．现随机变量X∽Q（，2）．

X	1	2	…	n
P	p1	p2	…	pn

（Ⅰ）求n 的值并求随机变量X的数学期望EX；
（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．

17. 难度：中等

椭圆C₁：与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M，抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（Ⅰ）若M，求C₁和C₂的标准方程；
（II）求椭圆C₁离心率的取值范围．

18. 难度：中等

已知，在水平平面α上有一长方体AC₁绕BC旋转90得到如图所示的几何体．
（Ⅰ）证明：平面ADC₁B₁⊥平面EFC₂B₂；
（Ⅱ）当AB=BC=1时，直线CB₂与平面ADC₁B₁所成的角的正弦值为，求AA₁的长度；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设旋转过程中，平面BCC₁B₁与平面α所成的角为θ，长方体AC₁的最高点离平面α的距离为f（θ），请直接写出f（θ）的一个表达式，并注明定义域．

19. 难度：中等

某公司有价值a万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价．假设售价y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
①y与a-x和x的乘积成正比；②y=a²；
③其中t为常数，且t∈[0，1]．
（1）设y=f（x），试求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；
（2）求出售价y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=m（x-1）²-2x+3+lnx（m≥1）．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）在区间[1，3]上的极小值；
（Ⅱ）求证：函数f（x）存在单调递减区间[a，b]；
（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知矩阵A=，向量．
（1）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和特征向量；
（2）求的值．

22. 难度：中等

在极坐标系中，过曲线L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一点（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．

23. 难度：中等

已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求证：；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．