2011年黑龙江省哈尔滨六中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={x|x＞-3}，集合A={x|x＜-2或x＞3}，B={x|-1≤x≤4}，那么集合A∩（C_UB）=（ ）
A．{x|-2≤x≤4}
B．{x|-3＜x＜-2或x＞4}
C．{x|-2≤x≤-1}
D．{x|x＜-2或x＞4}

2. 难度：中等

已知复数z₁=1+2i，z₂=2-mi（m∈R），若，则实数m的值是（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

3. 难度：中等

已知函数，则f（x）的图象关于（ ）对称．
A．x轴
B．y轴
C．原点
D．直线y=

4. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，若函数z=y-ax（a＞0）的最大值为3，则实数a的值为（ ）
A．1
B．4
C．2
D．3

5. 难度：中等

如果执行下面的框图，运行结果为（ ）

A．
B．3
C．
D．4

6. 难度：中等

已知锐角α终边上一点P（1-cos20°，sin20°），则锐角α等于（ ）
A．10°
B．20°
C．70°
D．80°

7. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分交于M点，过M作y轴的垂线，垂足为N，则线段NF的长度为（ ）
A．
B．4
C．
D．

8. 难度：中等

曲线在点P（x，y）（0≤x≤1）处的切线与x=0，x=1及x轴围成图形的面积的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）=log₃x+x-b的零点，其中常数b满足3^b=2，则n的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．-1

10. 难度：中等

将四个不同的小球随机的放入标号为1，2，3，4的4个不同盒子里，在3号盒子没有球的条件下，其余三个盒子中每个盒子至少有一球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）MN⊥AB；               （2）若N为中点，则MN与AD所成角为45°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；      （4）存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

12. 难度：中等

已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3

二、解答题

13. 难度：中等

设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＜b，且，则角A的值为    ．

14. 难度：中等

已知x，y之间的一组数据如下表：

x	1	2	3	4	5
y	2	3	5	7	8

对于表中数据，现给出如下拟合直线：①②y=2x+1③④y=2x
根据最小二乘法的思想，其中拟合程度最好的直线是    （填上正确序号）

15. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是    ．

16. 难度：中等

已知f（x）=x²，g（x）=2^x-m，若对∀x₁∈[-1，3]，∃x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知在公比为实数的等比数列{a_n}中，a₃=4，且a₄，a₅+4，a₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求的最大值．

18. 难度：中等

从高三考试的学生中抽取20名学生成绩，分成六段得到如下的频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：
（1）补全这个频率分布直方图；
（2）利用频率分布直方图，估算这组数据的中位数（保留两位小数）；
（3）从这20名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）（4）记0（5）分，在[60，80）（6）记1（7）分，在[80，100）（8）记2（9）分，用ξ（10）表示抽取结束后的总记分，
求ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C、C₁）上确定一点E的位置，使得二面角B-AB₁-E的余弦值为，并说明理由．

20. 难度：中等

如图，已知A₁，A₂分别为椭圆的下顶点和上顶点，F为椭圆的下焦点，P为椭圆上异于A₁，A₂点的任意一点，直线A₁P，A₂P分别交直线l：y=m（m＜-2）于M，N点
（1）当点P位于y轴右侧，且PF∥l时，求直线A₁M的方程；
（2）是否存在m值，使得以MN为直径的圆过F点？若存在加以证明，若不存在，请说明理由；
（3）由（2）问所得m值，求线段MN最小值．

21. 难度：中等

（1），a∈R，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x₂＞x₁＞0，求证：．

22. 难度：中等

选做题：几何证明选讲
如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．
（1）求证：E是AB的中点；
（2）求线段BF的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C₁的参数方程为 
（1）若把曲线C₁上的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C₂，求曲线C₂在直角坐标系下的方程
（2）在第（1）问的条件下，判断曲线C₂与直线l的位置关系，并说明理由．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
若关于x的方程 x²-4x+|a|+|a-3|=0有实根
（1）求实数a的取值集合A
（2）若存在a∈A，使得不等式t²-2a|t|+12＜0成立，求实数t的取值范围．