2011年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设不等式组在直角坐标系中所表示的区域的面积为S，则当k＞1时，的最小值为    ．

2. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．，c=2bcosA．
（Ⅰ）求证：A=B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求c的值．

3. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形．PB=PD，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE．

4. 难度：中等

某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示，
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设函数g（x）=（f（x）-x³）•e^x，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．

6. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且，求实数m的取值范围．

7. 难度：中等

对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：
其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．
（Ⅰ）当n=4时，试写出数阵A₄₄；
（Ⅱ）设．若[x]表示不超过x的最大整数，
求证：=．

二、选择题

8. 难度：中等

已知复数z满足（1-i）z=2，则z为（ ）
A．1+i
B．1-i
C．-1+i
D．-1-i

9. 难度：中等

命题“∃x∈R，使log₂x≤0成立”的否定为（ ）
A．∃x∈R，使log₂x＞0成立
B．∃x∈R，使log₂x≥0成立
C．∀x∈R，均有log₂x≥0成立
D．∀x∈R，均有log₂x＞0成立

10. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；
②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；
③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；   
④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面．
其中为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④

12. 难度：中等

已知函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则点P（ω，φ）的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（ ）
A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

14. 难度：中等

已知函数，那么在下列区间中含有函数f（x）零点的为（ ）
A．
B．
C．
D．（1，2）

15. 难度：中等

空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A∈α，点A到β，γ的距离都是3，点P是α上的动点，满足p到β的距离是到p到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到γ的距离的最小值为（ ）
A．
B．3-2
C．6-
D．3-

三、解答题

16. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点坐标是   

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₁=2，a₂+a₃=13，则a₄+a₅+a₆等于=    ．

18. 难度：中等

已知向量，，满足-+2=，且⊥，||=2，||=1，则||=    ．

19. 难度：中等

已知，，则sinα+cosα=    ．

20. 难度：中等

设且，则a=    ；f（f（2））=    ．