2010-2011学年北京市东城区示范校高三（下）3月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x||x|＞1}，B={x|x≥0}，全集U=R，则（∁_RA）∩B等于（ ）
A．{x|-1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1}
D．φ

2. 难度：中等

“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知各项不为0的等差数列{a_n}满足2a₂-a₇²+2a₁₂=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇，则b₃b₁₁等于（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

4. 难度：中等

某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f（x）=x²，，f（x）=e^x，f（x）=sinx，则可以输出的函数是（ ）
A．f（x）=x²
B．
C．f（x）=e^x
D．f（x）=sin

5. 难度：中等

如果三位正整数如“abc”满足a＜b，b＞c，则这样的三位数称为凸数（如120，352）那么，所有的三位凸数的个数为（ ）
A．240
B．204
C．729
D．920

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知向量=（x²，x+1），=（1-x，t），若函数f（x）=•在区间（-1，1）上是增函数，则实数t的取值范围是（ ）
A．[5，+∞）
B．（5，+∞）
C．（-∞，5]
D．（-∞，5）

8. 难度：中等

定义函数y=f（x），x∈D．若存在常数c，对任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得，则称函数f（x）在D上的算术平均数为c．已知f（x）=lnx，x∈[2，8]，则f（x）=lnx在[2，8]上的算术平均数为（ ）
A．ln2
B．ln4
C．ln5
D．ln8

二、解答题

9. 难度：中等

复数=    ；其所确定的点Z位于复平面的第    象限．

10. 难度：中等

右图是样本容量为200的频率分布直方图． 根据样  本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，14）内的频数为    ；数据落在[2，14）内的概率约为    ．

11. 难度：中等

若抛物线y²=ax（a＞0）的焦点与双曲线的一个焦点相同，则该抛物线的方程为    ．

12. 难度：中等

已知在极坐标系下，点是极点，则A，B两点间的距离|AB|=    ；△AOB的面积等于    ．

13. 难度：中等

如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，C为圆上任意一点，过C点做圆的切线分别与过A，B两点的切线交于P，Q点，则CP•CQ=    ．

14. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD₁，D₁A₁，A₁A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件    时，就有MN⊥A₁C₁；当N只需满足条件    时，就有MN∥平面B₁D₁C．

15. 难度：中等

已知函数，且．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的值域．

16. 难度：中等

某单位在2011新年联欢会上举行一个抽奖活动：甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球4个黑球，参加活动者从这两个箱子中分别摸出1个球，如果摸到的都是红球则获奖．
（Ⅰ）求每个活动参加者获奖的概率；
（Ⅱ）某办公室共有5人，每人抽奖1次，求这5人中至少有3人获奖的概率．

17. 难度：中等

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，侧棱与底面垂直，点O是正方形ABCD对角线的交点，AA₁=2AB=4，点E，F分别在CC₁和A₁A上，且CE=A₁F．
（Ⅰ）求证：B₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）若A₁O⊥BE，求CE的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角A₁-BE-O的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）问是否存在实数m，使得函数f（x）在区间[1，e]上取得最小值3？请说明理由．

19. 难度：中等

已知椭圆的右顶点为A，离心率，过左焦点F（-1，0）作直线l与椭圆交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线x=-4交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明以线段MN为直径的圆经过焦点F．

20. 难度：中等

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定 {△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a_n}，若数列{b_n}是等差数列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n对一切正整数n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令c_n=（2n-1）b_n，设，若T_n＜m成立，求最小正整数m的值．