2010-2011学年江苏省淮阴中学、姜堰中学、前黄中学高三第一次联考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数的最小正周期=    ．

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，则复数的实部=    ．

3. 难度：中等

写出命题P：∀x∈[-1，2]，x²-2≥0的否定：    ．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+e^-x+ax是R上的偶函数，则常数a=    ．

5. 难度：中等

已知向量、满足，，，则与的夹角=    ．

6. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，a，b，g是两个不同的平面，有下列四个命题：
①⇒α∥β；②⇒m⊥β；③⇒α⊥β；④⇒m∥α．
其中真命题的是    （填上所有真命题的序号）．

7. 难度：中等

设集合A={x|2lgx=lg（8x-15），x∈R}，，则A∩B的子集共有    个．

8. 难度：中等

在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=    ．

9. 难度：中等

设曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线f（x）=g（x）+x²在点（1，f（1））处的切线方程为    ．

10. 难度：中等

已知，，则sinx+cosx的值=    ．

11. 难度：中等

已知函数的图象是一个中心对称图形，则f（x）图象的对称中心坐标为    ．

12. 难度：中等

已知函数在（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两对角线的交点，若AB=3，PB=4，则PA长度的取值范围为    ．

14. 难度：中等

如图放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB=90°，AC=2）沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为    ．

15. 难度：中等

设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为ϕ，命题q：函数的定义域为R，若命题p和q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．

16. 难度：中等

已知向量=（3，1），=（-1，a），a∈R
（1）若D为BC中点，=（m，2），求a、m的值；
（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．

17. 难度：中等

如图，正方形ABDE与等边△ABC所在平面互相垂直，AB=2，F为BD中点，G为CE中点．
（1）求证：FG∥平面ABC；
（2）求三棱锥F-AEC的体积．

18. 难度：中等

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

19. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为-a，f（x）=0两个实根为x₁、x₂．
（1）求x₁-x₂的值；
（2）若关于x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a的取值范围；
（3）若-2＜x₁＜0，求b的取值范围．

20. 难度：中等

函数，a＞0，f'（1）=0．
（1）①试用含有a的式子表示b；②求f（x）的单调区间；
（2）对于函数图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点P（x，y）（其中x在x₁与x₂之间），使得点P处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”，当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B，使得AB存在“中值伴随切线”？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由．