2010年广东省肇庆市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ=|x-2|+|y-x|．
（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

2. 难度：中等

已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆的一个顶点是抛物线x²=4y的焦点，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：λ₁+λ₂为定值．

3. 难度：中等

已知函数．
（1）若函数f（x）仅有一个极值点x=0，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0当x∈[-1，1]时恒成立，求实数b的取值范围．

4. 难度：中等

在数列
（1）求证：a_n＞2；
（2）求证：；
（3）若．

二、选择题

5. 难度：中等

已知函数y=2cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，那么ω=（ ）
A．
B．
C．1
D．2

6. 难度：中等

设集合，B={x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知向量，且a∥b，则锐角θ等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

8. 难度：中等

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁=3，前三项和为21，则a₃+a₄+a₅=（ ）
A．33
B．72
C．84
D．189

9. 难度：中等

在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

从6名学生中选4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事A工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．280
B．240
C．180
D．96

11. 难度：中等

已知圆x²+y²+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n²填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N₃=15，那么N₁₂的值为（ ）

A．869
B．870
C．875
D．871

三、解答题

13. 难度：中等

已知=1-bi（a，b是实数，i是虚数单位），则a+b=    ．

14. 难度：中等

学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为    ．

15. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果T=    ．

16. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC、△ABC为正三角形，且PA=AB=2，则三棱锥P-ABC的侧视图面积为    ．

17. 难度：中等

当x、y满足|x|+|y|≤1，则的取值范围是    ．

18. 难度：中等

曲线ρ=2cosθ关于直线θ=对称的曲线的极坐标方程为     ．

19. 难度：中等

如图，AB为☉C的直径，弦AC，BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=    ．

20. 难度：中等

已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量，且．
（1）求角A；
（2）若的值．

21. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求二面角B-AB₁-D的正切值．