2010年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=（a²-1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（ ）
A．2
B．1
C．±1
D．-1

2. 难度：中等

对于非零向量，，“+2=0”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的T等于（ ）

A．10
B．15
C．20
D．30

4. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（ ）

A．15π
B．18π
C．22π
D．33π

5. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域M，若直线y=kx-3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．[-，0]
B．（-∞，]
C．（0，]
D．（-∞，-]

6. 难度：中等

已知函数f（x）=，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^﹡），且{a_n}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）
B．（，3）
C．（2，3）
D．（1，3）

7. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线（a，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l的斜率可以在下列给出的某个区间内，该区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i，设a₁，a₂，a₃，a₄是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表，若两个数表对应位置上至少有一个数不同，就说这是两个不同的数表，那么满足条件的不同的数表共有（ ）
A．216个
B．108个
C．48个
D．24个

二、解答题

9. 难度：中等

命题“∃x∈R，”的否定是     ．

10. 难度：中等

如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=2，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为    ．

11. 难度：中等

已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，样本数据落在[6，10）内的样本频数为     ，样本数据落在[2，10）内的频率为     ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：（t为参数），则直线l与圆C相交所得的弦长等于    ．

13. 难度：中等

在函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一个周期内，当x=时有最大值，当x=时有最小值-，若φ∈（0，），则函数解析式f（x）=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}中，S_n是其前n项和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_n+1a_n+2≠1，则a₁+a₂+a₃=    ，S₂₀₁₀=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，C=2A．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若ac=24，求a，c的值．

16. 难度：中等

袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥CD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．

18. 难度：中等

已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点A（a，4）到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，过M，N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T．
（I）求抛物线的标准方程；
（II）求的值；
（III）求证：的等比中项．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足c_n=（n∈N⁺），设T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若对一切n∈N⁺不等式4mT_n＞（n+2）c_n恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数（a＞1），求证：
（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根．