2013年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

2. 难度：中等

复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（ ）
A．（1，2）
B．（2，-i）
C．（2，1）
D．（1，-2）

3. 难度：中等

“a＞0”是“a²＜a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数f（x）=log₂（1+x），g（x）=log₂（1-x），则f（x）-g（x）是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数又不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数

5. 难度：中等

已知函数f（x）=，则使函数g（x）=f（x）+x-m有零点的实数m的取值范围是（ ）
A．[0，1）
B．（-∞，1）
C．（-∞，1]∪（2，+∞）
D．.（-∞，0]∪（1，+∞）

6. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，a₃=5，S_k+2-S_k=36，则k的值为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5

7. 难度：中等

函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（ ）
A．[6k-1，6k+2]（k∈z）
B．[6k-4，6k-1]（k∈z）
C．[3k-1，3k+2]（k∈z）
D．[3k-4，3k-1]（k∈z）_

8. 难度：中等

执行右边的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（ ）

A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

9. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F是AB的三等分点，G、H是 CD的三等分点，M、N分别是BC、EH的中点，则四棱锥A₁-FMGN的 侧视图为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y²=-8x的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．3

11. 难度：中等

如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，延长B₁F₂与A₂B₂交于P点，若∠B₁PA₂为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

△ABC中，若，则的值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．2

二、填空题

13. 难度：中等

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程．

现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为    ．

14. 难度：中等

如图，单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在平面A₁BC₁上，则三棱锥P-ACD₁的体积 为    ．

15. 难度：中等

点A（x，y）在单位圆上，从A（）出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周．则经过时间t后，y关于t的函数解析式为    ．

16. 难度：中等

设A、B为在双曲线上两点，O为坐标原点．若OA丄OB，则△AOB面 积的最小值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}、{b_n}分别是首项均为2的各项均为正数的等比数列和等差数列，且b₂=4a₂，a₂b₃=6
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II ）求使a_bn＜0.001成立的最小的n值．

18. 难度：中等

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（II）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．

19. 难度：中等

在正四棱锥V-ABCD中，P，Q分别为棱VB，VD的中点，点 M 在边 BC 上，且 BM：BC=1：3，AB=2，VA=6．
（I ）求证CQ丄AP；
（II）求二面角B-AP-M的余弦值．

20. 难度：中等

已知点F（ 1，0），⊙F与直线4x+3y+1=0相切，动圆M与⊙F及y轴都相切．
（I ）求点M的轨迹C的方程；
（II）过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向⊙F各引一条切线，切点 分别为P，Q，记α=∠PAF，β=∠QBF．求证sinα+sinβ是定值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数f（x）的单调区间；
（II）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD丄CE，垂足为D．
（I） 求证：AC平分∠BAD；
（II） 若AB=4AD，求∠BAD的大小．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
将圆x²+y²=4上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C；将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l．
（I）求直线l与曲线C的方程；
（II）求C上的点到直线l的最大距离．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（I）求证f（x）≥1；
（II）若f（x）=成立，求x的取值范围．