2012-2013学年江苏省泰州市姜堰市高三（下）期初数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合M={1，x²}，N={1，x}，且集合M=N，则实数x的值为    ．

2. 难度：中等

计算i²⁰¹³=    （i为虚数单位）

3. 难度：中等

已知向量=（cos36°，sin36°），=（cos24°，sin（-24°）），则=    ．

4. 难度：中等

圆x²+y²-6x+8y=0的半径为    ．

5. 难度：中等

双曲线的离心率为    ．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n，则该数列前8项之和S₈=    ．

7. 难度：中等

点M（1，m）在函数f（x）=x³的图象上，则该函数在点M处的切线方程为    ．

8. 难度：中等

将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，第二组的平均数为40，则整个数组的平均数是    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+x+1（x，a，b∈R），若对任意实数x，f（x）≥0恒成立，则实数b的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知直线l₁：x+ay+6=0和l₂：（a-2）x+3y+2a=0，则l_1^∥l₂的充要条件是a=    ．

11. 难度：中等

已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值范围是    ．

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=，若对任意的x∈[a，a+2]不等式f（x+a）f（x）恒成立，则a的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n，若对任意的n∈N^*，都有a_n≥a₃，则实数k 的取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知α，β，γ∈R，则的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c
（1）求证：acosB+bcosA=c；
（2）若acosB-bcosA=c，试求的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）若E为棱BC上的一点，且AE∥平面DCC₁D₁，求线段BE的长度．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=，x∈R
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）已知x∈R，求函数f（sinx）的最大值和最小值．
（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

18. 难度：中等

如图，海岸线MAN，，现用长为6的拦网围成一养殖场，其中B∈MA，C∈NA．
（1）若BC=6，求养殖场面积最大值；
（2）若AB=2，AC=4，在折线MBCN内选点D，使BD+DC=6，求四边形养殖场DBAC的最大面积（保留根号）．

19. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁，F₂分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D（1，0）为线段OF₂的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF₁并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k₁、k₂，试问是否存在常数λ，使得k₁+λk₂=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

定义数列{a_n}：a₁=1，当n≥2 时，a_n=．
（1）当r=0时，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
①求：S_n； ②求证：数列{S_2n}中任意三项均不能够成等差数列．
（2）若r≥0，求证：不等式（n∈N^*）恒成立．

21. 难度：中等

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P．
（1）证明：OM•OP=OA²；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM=90°．

22. 难度：中等

已知矩阵M=有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲线方程．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线的极坐标方程为ρsin（）=3．
（1）把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程；
（2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线的距离的最大值．

24. 难度：中等

不等式选讲
设x，y，z为正数，证明：2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）．

25. 难度：中等

如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁E=CF=1．
（1）求两条异面直线AC₁与D₁E所成角的余弦值；
（2）求直线AC₁与平面BED₁F所成角的正弦值．

26. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．