2013年全国名校高考数学模拟试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数等于（ ）
A．1+i
B．1-i
C．-1+i
D．-1-i

2. 难度：中等

lgx，lgy，lgz成等差数列是由y²=zx成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设函数为奇函数，则g（3）=（ ）
A．8
B．
C．-8
D．-

4. 难度：中等

为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

5. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，其一条渐近线方程为y=x，点在该双曲线上，则与的夹角大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

6. 难度：中等

已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形，则这个几何体的体积不可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．

7. 难度：中等

已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量，，n∈N^*．下列命题中真命题是（ ）
A．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等差数列
B．若∀n∈N^*总有∥成立，则数列{a_n}是等比数列
C．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等差数列
D．若∀n∈N^*总有⊥成立，则数列{a_n}是等比数列

8. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+c（a≠0），若，则x的值为（ ）
A．
B．f（x）a
C．
D．mm

9. 难度：中等

阅读如图程序框图，输出的结果的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知方程f（x）=x²+ax+2b的两个根分别在（0，1），（1，2）内，则a²+（b-4）²的取值范围为（ ）
A．
B．
C．（17，20）
D．

11. 难度：中等

设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（ ）
A．不存在
B．有且只有一对
C．有且只有两对
D．有无数对

12. 难度：中等

如图是二次函数f（x）=x²-bx+a的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（ ）

A．
B．（1，2）
C．
D．（2，3）

二、填空题

13. 难度：中等

已知随机变量X服从正态分布N（3，1），若P（1＜X＜5）=a，P（0＜X＜6）=b，则P（0＜X≤1）=    ．

14. 难度：中等

若的展开式中第四项为常数项，则n=    ．

15. 难度：中等

数9117，9005，9239有某些共同点，即每个数都是首位为9的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有    个．

16. 难度：中等

已知O，A，B是同一平面内不共线的三点，且，则下列命题正确的是    ．（写出所有正确命题的编号）
①若，则点M是线段AB的中点；
②若λ=-1，μ=2，则M，A，B三点共线；
③若，则点M在∠AOB的平分线上；
④若，则点M是△OAB的重心；
⑤若点M在△OAB外，则λ＜0或μ＜0或．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）若f（x）=1，求cos（-x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+c=b，求f（B）的取值范围．

18. 难度：中等

某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（Ⅰ）甲班10名同学成绩的标准差______乙班10名同学成绩的标准差（填“＞”，“＜”）； 
（Ⅱ）从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；   
（Ⅲ）从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．

19. 难度：中等

如图a所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB．已知AB=AD=CE=2，沿线段EF把四边形CDEF折起如图b所示，使平面CDEF⊥平面ABEF．
（1）求证：AF⊥平面CDEF；
（2）求三棱锥C-ADE的体积；
（3）求二面角B-AC-D的余弦值．

20. 难度：中等

如图：已知椭圆A，B，C是长轴长为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）如果椭圆上两点P，Q使得直线CP，CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使？请给出证明．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然数的底数，a∈R．
（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

22. 难度：中等

如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，
且AE=AF．
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x-4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求实数m的取值范围．