《三角函数》2013年高三一轮复习单元训练（北京师范大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知cos（75°+α）=且-180°＜α＜-90°，则cos（15°-α）=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

2. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ ）
A．
B．y=2cos²
C．y=2sin²
D．y=-cos2

3. 难度：中等

在△ABC中，若a=2，，B=60°，则角A的大小为（ ）
A．30°或150°
B．60°或120°
C．30°
D．60°

4. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

5. 难度：中等

已知角α的终边经过点P（-3，4）那么sinα+2cosα的值等于（ ）
A．
B．-
C．
D．-

6. 难度：中等

在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高是（ ）
A．米
B．米
C．米
D．200米

7. 难度：中等

表达式sin（45°+A）-sin（45°-A）化简后为（ ）
A．-sinA
B．sinA
C．sinA
D．-sinA

8. 难度：中等

已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°

9. 难度：中等

cos330°=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

当0＜x＜时，函数的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．

11. 难度：中等

函数y=sin（x+）是（ ）
A．周期为2π的偶函数
B．周期为2π的奇函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为π的奇函数

12. 难度：中等

sin585°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A角大小为    ．

14. 难度：中等

如果cosα=，且α是第四象限角，那么cos（+α）=    ．

15. 难度：中等

已知x+y=，则x²+y²的值是：    ．

16. 难度：中等

已知角α的终边经过点P（-x，-6），且，则=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG、MK，且以MG、MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲线段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），设点M的坐标为（s，t），记z=s•t．（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度
（1）求z的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK面积S_△MGK关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值．

18. 难度：中等

如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．
（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；
（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．

19. 难度：中等

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

20. 难度：中等

如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域--养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA=1cm，，∠AOC=θ．
（1）用θ表示CD的长度；
（2）求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围．

21. 难度：中等

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

22. 难度：中等

化简：．