2011-2012学年河南省豫南九校高三第四次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞1}，B={0，1，2，4}，则（C_RA）∩B=（ ）
A．{0，1}
B．{0}
C．{2，4}
D．∅

2. 难度：中等

已知复数z=（a²-1）+（a-2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

3. 难度：中等

如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若a=，则二项式（a-）⁶的展开式中含x项的系数是（ ）
A．210
B．-210
C．240
D．-240

5. 难度：中等

在下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）
A．命题“若x²=4，则x=2或x=-2”的逆否命题是“若x≠2或x≠-2，则x²≠4”
B．若命题p：∀x∈R，x²-2x+3＞0，则￢p：∃x∈R，x²-2x+3＜0
C．若a＞b，则aⁿ＞bⁿ（n∈N₊）
D．若命题p：所有幂函数的图象不过第四象限，命题q：所有抛物线的离心率为1，则命题p且q为真

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（ ）

A．1
B．3
C．7
D．15

7. 难度：中等

有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48

8. 难度：中等

若圆C：x²+y²+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

9. 难度：中等

已知数列{a_n}，若点（n，a_n）（n∈N⁺）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{a_n}的前9项和S₉=（ ）
A．9
B．10
C．18
D．27

10. 难度：中等

设0＜a＜2，0＜b＜1，则双曲线的离心率的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，）
D．（，2）

二、填空题

13. 难度：中等

已知f（x）=，则f[f（π）]=    ．

14. 难度：中等

若实数x，y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m=    ．

15. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°AB=6，BC=8，AA₁=8，则三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的表面积是    ．

16. 难度：中等

把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a_n}，若a_n=2011，则n=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集
（Ⅰ）求角C的最大值；
（Ⅱ）若，△ABC的面积，求当角C取最大值时a+b的值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值．

19. 难度：中等

某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1
所示统计表和如图2所示各年龄段人数频率分布直方图：


请完成以下问题：
（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值
（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）

20. 难度：中等

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的图象相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当时，设函数，若对于∀x₁∈（0，e]，∃x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．（e是自然对数的底，）

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明讲
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．

23. 难度：中等

已知曲线C₁的极坐标方程为P=6cosθ，曲线C₂的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C₁，C₂相交于A，B两点．
（Ⅰ）把曲线C₁，C₂的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦AB的长度．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|x-2|+x．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若g（x）=|x+1|，求g（x）＜f（x）成立时x的取值范围．