2012-2013学年广东省惠州市高三第三次调研数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，若z（i+1）=i，则|z|等于（ ）
A．1
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知集合A={-1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（ ）
A．{-1}
B．{1}
C．{-1，1}
D．{-1，0，1}

3. 难度：中等

若a∈R，则“a=3”是“a²=9”的（ ）条件．
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充要
D．既不充分又不必要

4. 难度：中等

下列函数为偶函数的是（ ）
A．y=sin
B．y=x³
C．y=e^x
D．

5. 难度：中等

已知向量=（2，-3），=（x，6），，则|的值为（ ）
A．
B．
C．5
D．13

6. 难度：中等

设{a_n}是公差为正数的等差数列，若a₁+a₂+a₃=15，a₁a₂a₃=80，则a₁₁+a₁₂+a₁₃=（ ）
A．120
B．105
C．90
D．75

7. 难度：中等

已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．x²-=1
B．x²-y²=15
C．-y²=1
D．-=1

8. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

9. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log₄f（2）的值为（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

10. 难度：中等

如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

sin（）=，则sinα=    ．

12. 难度：中等

已知则z=3x+y的最大值为    ．

13. 难度：中等

阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为    ．

14. 难度：中等

在极坐标中，直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为    ．

15. 难度：中等

如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数的图象关于直线对称，求φ的值．

18. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥的体积．

19. 难度：中等

已知向量=（a_n，2ⁿ），=（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，向量 与 垂直，且a₁=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n+1，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

如图，椭圆的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ） 设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）的极小值；
（2）若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；
（3）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．