2013年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|-1≤x≤1}，则（ ）
A．B⊊A
B．A⊆B
C．A=B
D．A∩B=∅

2. 难度：中等

计算：i（1+i）²=（ ）
A．-2
B．2
C．2i
D．-2i

3. 难度：中等

已知f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂x，则=（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

4. 难度：中等

已知向量=（x-1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（ ）
A．x=-
B．x=-1
C．x=5
D．x=0

5. 难度：中等

如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数y=sinx+cosx，则下列结论正确的是（ ）
A．此函数的图象关于直线对称
B．此函数的最大值为1；
C．此函数在区间上是增函数．
D．此函数的最小正周期为π．

7. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

已知x、y满足约束条件若0≤ax+by≤2，则的取值范围为（ ）
A．[0，1]
B．[1，10]
C．[1，3]
D．[2，3]

二、填空题

9. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比q为正数，且，则q=    ．

10. 难度：中等

=    ．

11. 难度：中等

已知双曲线x²-ky²=1的一个焦点是，则其渐近线方程为    ．

12. 难度：中等

的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为    ．

13. 难度：中等

2¹×1=2，2²×1×3=3×4，2³×1×3×5=4×5×6，2⁴×1×3×5×7=5×6×7×8，…依此类推，第n个等式为    ．

14. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为（θ为参数），则曲线上C的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为    ．

15. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过p点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PC=    cm．

三、解答题

16. 难度：中等

如图所示，角A为钝角，且，点P、Q分别在角A的两边上．
（1）AP=5，PQ=，求AQ的长；
（2）设的值．

17. 难度：中等

某连锁超市有A、B两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B分店的统计结果如下表：

销售量（单位：件）	200	300	400
天  数	10	15	5

（1）根据上面统计结果，求出B分店销售量为200件、300件、400件的频率；
（2）已知每件该商品的销售利润为1元，ξ表示超市A、B两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且A、B两分店的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=b₁=1，且当n≥2时，a_n-na_n-1=0，．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列；
（3）若，求{c_n}的前n项和．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设O为坐标原点，取C₂上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C₂相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．

21. 难度：中等

已知函数，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有，求实数a的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．