《推理与证明》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京师范大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

用反证法证明：“方程ax²+bx+c=0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”正确的假设是方程存在实数根x为（ ）
A．整数
B．奇数或偶数
C．正整数或负整数
D．自然数或负整数

2. 难度：中等

用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（ ）
A．=
B．＜
C．=且＞
D．=或＜

3. 难度：中等

已知a，b为不相等的正数，，则A、B的大小关系（ ）
A．A＞B
B．A≥B
C．A＜B
D．A≤B

4. 难度：中等

用反证法证明“方程ax²+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的假设中，正确的是（ ）
A．至多有一个解
B．有且只有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解

5. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

6. 难度：中等

用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（ ）
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

7. 难度：中等

平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（ ）
A．n+1
B．2n
C．
D．n²+n+1

8. 难度：中等

若P=，Q=，（a≥0），则P，Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q
B．P=Q
C．P＜Q
D．由a的取值确定

9. 难度：中等

用反证法证明命题“若a²+b²=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（ ）
A．a、b至少有一个不为0
B．a、b至少有一个为0
C．a、b全不为0
D．a、b中只有一个为0

10. 难度：中等

将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2，4}，{6，8，10，12}，{14，16，18，20，22，24}，…则2120位于第（ ）组．
A．33
B．32
C．31
D．30

11. 难度：中等

下列不等式不成立的是（ ）
A．a²+b²+c²≥ab+bc+ca
B．（a＞0，b＞0）
C．（a≥3）
D．＜

12. 难度：中等

四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2009次互换座位后，小兔的座位对应的是（ ）

1 鼠

2 猴

1 兔

2 猫

1 猫

2 兔

1 猴

2 鼠

兔 3

猫 4

鼠 3

猴 4

猴 3

鼠 4

猫 3

兔 4

开始

第一次

第二次

第三次

A．编号1
B．编号2
C．编号3
D．编号4

二、填空题

13. 难度：中等

研究问题：“已知关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx²-bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx²-bx+a＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3），则关于x的不等式的解集    ．

14. 难度：中等

若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，则此四面体的体积V=    ．

15. 难度：中等

若正数a，b，c满足a+b+4c=1，则++的最大值为    ．

16. 难度：中等

用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求证：y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b（a，b，c是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．

18. 难度：中等

已知函数（a＞1），求证方程f（x）=0没有负数根．

19. 难度：中等

用反证法证明：若x，y都是正实数，且x+y＞2求证：或中至少有一个成立．

20. 难度：中等

有一种密英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不分大小写），依次对应1，2，3，…，26这26个自然数，见如下表格：

a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

给出如下变换公式：
X′=
将明文转换成密文，如8→+13=17，即h变成q；如5→=3，即e变成c．
①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？
②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？

21. 难度：中等

已知a，b，c∈R⁺，求证：．

22. 难度：中等

用分析法证明：若a＞0，则．