《推理与证明》2013年高三数学一轮复习单元训练（浙江大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

2. 难度：中等

下列不等式不成立的是（ ）
A．a²+b²+c²≥ab+bc+ca
B．（a＞0，b＞0）
C．（a≥3）
D．＜

3. 难度：中等

四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2009次互换座位后，小兔的座位对应的是（ ）

1 鼠

2 猴

1 兔

2 猫

1 猫

2 兔

1 猴

2 鼠

兔 3

猫 4

鼠 3

猴 4

猴 3

鼠 4

猫 3

兔 4

开始

第一次

第二次

第三次

A．编号1
B．编号2
C．编号3
D．编号4

4. 难度：中等

德国数学家洛萨•科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．现在请你研究：如果对正整数n（首项），按照上述规则实施变换（1可以多次出现）后的第八项为1，则n的所有可能的对值为（ ）
A．2，3，16，20，21，128
B．2，3，16，21
C．2，16，21，128
D．3，16，20，21，64

5. 难度：中等

用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（ ）
A．=
B．＜
C．=且＞
D．=或＜

6. 难度：中等

观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（ ）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）

7. 难度：中等

用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（ ）
A．
B．
C．且
D．或

8. 难度：中等

数列﹛a_n﹜的前n项和 S_n=n²a_n（n≥2）．而a₁=1，通过计算a₂，a₃，a₄，猜想a_n=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠o）有有理根，那么 a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设（ ）
A．a，b，c中至多一个是偶数
B．a，b，c中至少一个是奇数
C．a，b，c中全是奇数
D．a，b，c中恰有一个偶数

10. 难度：中等

用反证法证明“方程ax²+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的假设中，正确的是（ ）
A．至多有一个解
B．有且只有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解

11. 难度：中等

用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（ ）
A．a，b，c，d中至少有一个正数
B．a，b，c，d全为正数
C．a，b，c，d全都大于等于0
D．a，b，c，d中至多有一个负数

二、填空题

12. 难度：中等

2011年11月2日，即20111102，正好前后对称，因而被称为“完美对称日”，请你写出本世纪的一个“完美对称日”：    ．

13. 难度：中等

在如图所示的数表中，记第3行的数3，5，8，13，22，…依次组成数列{b_n}，则数列{b_n}的通项公式为    ．

14. 难度：中等

研究问题：“已知关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx²-bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx²-bx+a＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3），则关于x的不等式的解集    ．

15. 难度：中等

有下列各式：，，，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x+y|≤|1+xy|．

17. 难度：中等

求证：y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b（a，b，c是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．

18. 难度：中等

祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的．祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵．利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体．试用祖暅原理推导球的体积公式．

19. 难度：中等

求证：．

20. 难度：中等

已知函数（a＞1），求证方程f（x）=0没有负数根．

21. 难度：中等

用适当方法证明：已知：a＞0，b＞0，求证：．