《选考内容》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京师范大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心的极坐标是（ ）
A．（1，）
B．（，）
C．（，）
D．（2，）

2. 难度：中等

若关于x的不等式|x+1|-|x-2|＜a²-4a有实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，1）∪（3，+∞）
B．（1，3）
C．（-∞，-3）∪（-1，+∞）
D．（-3，-1）

3. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．67.5°

4. 难度：中等

若点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

5. 难度：中等

已知点P的极坐标是（1，π），则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是（ ）
A．ρ=1
B．ρ=cosθ
C．
D．

6. 难度：中等

如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）

A．1-
B．
C．1-
D．

7. 难度：中等

如图，l₁、l₂、l₃是同一平面内的三条平行直线，l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l₁、l₂、l₃上，则△ABC的边长是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

不等式|x-2|+|4-x|＜3的解集是（ ）
A．
B．
C．（1，5）
D．（3，9）

9. 难度：中等

设a＞0，不等式|ax+b|＜c的解集是{x|-2＜x＜1}，则a：b：c等于（ ）
A．1：2：3
B．2：1：3
C．3：1：2
D．3：2：1

10. 难度：中等

不等式|x-1|+|x-2|≥5的解集为（ ）
A．﹛x|x≤-1或x≥4﹜
B．﹛x|x≤1或x≥2﹜
C．﹛x|x≤1﹜
D．﹛x|x≥2﹜

二、填空题

11. 难度：中等

若存在实数x满足不等式|x-3|+|x-5|＜m²-m，则实数m的取值范围为    ．

12. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若 PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于    ．

13. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）已知PA是⊙O的切线，切点为A，直线PO交⊙O于B、C两点，AC=2，∠PAB=120°，则⊙O的面积为    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=1，则AD的长为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知a，b是正数，求证：a²+4b²+≥4．

16. 难度：中等

已知l₁，l₂，l₃是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．
（Ⅰ）如果l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l₁，l₂，l₃上，求这个正三角形ABC的边长；
（Ⅱ）如图，如果l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l₁，l₂，l₃上，如果能放，求BC和l₃夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？
（Ⅲ）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l₁，l₂，l₃上，设l₁与l₂的距离为d₁，l₂与l₃的距离为d₂，求d₁•d₂的范围？

17. 难度：中等

设函数f（x）=|2x-4|+1．
（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．

18. 难度：中等

在极坐标系中，过曲线L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一点（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．

19. 难度：中等

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x²+y²=4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

20. 难度：中等

选修4-1：平面几何
如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．