2013年四川省成都市新津中学高考数学一模试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列函数是偶函数的是（ ）
A．y=
B．y=2x²-3
C．
D．y=x²，x∈[0，1]

2. 难度：中等

函数y=lgx-的零点所在的大致区间是（ ）
A．（6，7）
B．（7，8）
C．（8，9）
D．（9，10）

3. 难度：中等

下列结论正确的是（ ）
A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2
B．当x＞0时，+≥2
C．当x≥2时，x+的最小值为2
D．当0＜x≤2时，x-无最大值

4. 难度：中等

己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如下图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．2π
C．
D．

5. 难度：中等

已知定义在区间（0，）上的函数y=sinx的图象与函数y=cosx的图象的交点为P，过P作PP₁⊥x轴于点P₁，直线PP₁与y=tanx的图象交于点P₂，则线段P₁P₂的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（ ）
A．n≤5
B．n≤6
C．n≤7
D．n≤8

7. 难度：中等

某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（ ）
A．P（ξ=1）
B．P（ξ≤1）
C．P（ξ≥1）
D．P（ξ≤2）

8. 难度：中等

如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．3

9. 难度：中等

现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）
A．232
B．252
C．472
D．484

10. 难度：中等

给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1，2，3，…，2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M是（ ）

A．2012×2²⁰⁰⁹
B．2011×2²⁰¹⁰
C．2010×2²⁰¹¹
D．2010×2²⁰⁰⁷

二、填空题

11. 难度：中等

设i为虚数单位，则1+i+i²+i³+i⁴+i⁵+i⁶=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若，则∠C=    ．

13. 难度：中等

如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a₁、a₂，则它们的大小关系是    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=|2x+1|+|ax|，若存在三个互不相等的实数x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），则实数a=    ．

15. 难度：中等

已知数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：
①数列0，1，3具有性质P；
②数列0，2，4，6具有性质P；
③若数列A具有性质P，则a₁=0；
④若数列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性质P，则a₁+a₃=2a₂．
其中真命题有    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数的值域．

17. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A₁A=AB=2．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3，求二面角C-BC₁-D的正切值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+b（x≥0）的图象经过两点A（0，1）和B（，2-）．
（I）求f（x）的表达式及值域；
（II）给出两个命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：log₂（m-1）＜1．问是否存在实数m，使得复合命题“p且q”为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．
（I）写出飞机票价格元与旅行团人数x之间的函数关系式；
（II）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．

20. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列的前n项和为T_n，且，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若对n∈N^*恒成立，求λ的最小值；
（3）若成等差数列，求正整数x，y的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-kx，
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N⁺）．