2012-2013学年湖北省荆州市公安三中高三（上）数学积累测试卷10（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A．0
B．6
C．12
D．18

2. 难度：中等

下列命题中真命题的个数是（ ）
①∃x∈（-∞，0），使得2^x＜3^x成立；
②命题“若am²＜bm²，则a＜b”（ a，b，m∈R）的逆命题是真命题；
③若￢p是q的必要条件，则p是￢q的充分条件；
④∀x∈（0，π），则sinx＞cosx．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

3. 难度：中等

若方程lnx+x-4=0在区间（a，b）（a，b∈Z，且b-a=1）上有一根，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，且满足：a₁₀₀₀+a₁₀₁₂=π，b₁b₁₄=-2，则=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

5. 难度：中等

下列四个命题中，真命题的个数为（ ）
①若函数f（x）=sinx-cosx+1，则y=|f（x）|的周期为2π；
②若函数f（x）=cos⁴x-sin⁴，则=-1；
③若角α的终边上一点P的坐标为（sin，cos），则角α的最小正值为；
④函数y=2cos2x的图象可由函数y=cos2x+sin2x的图象向左平移m=-1个单位得到．
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知函数y=f （x）在R上是偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，，给出如下命题：f（2a-x）=f（x）
①f（3）=0    
②直线x=-6是y=f（x）图象的一条对称轴   
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①②
B．②④
C．①②③
D．①②④

7. 难度：中等

函数的图象向右平移a个单位后所得的图象关于点中心对称．则a不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值为3，则的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

9. 难度：中等

已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=θ，若，则m=（ ）
A．sinθ
B．cosθ
C．tanθ
D．不能确定

10. 难度：中等

已知函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S_n，则S₁₀=（ ）
A．
B．2⁹-1
C．45
D．55

二、填空题

11. 难度：中等

设i为虚数单位，则1-i+i²-i³+i⁴-…+i²⁰=    ．

12. 难度：中等

若f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

如图：在三角形ABC中，点D为线段AC上的一点，点E为线段BC的中点，连接AE交BD于P点，若，记则实数λ的值为    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log₂x）＞的解集为    ．

15. 难度：中等

在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为a_i，j，且满足a_1，j=2^j-1，a_i，1=i，a_i+1，j+1=a_i，j+a_i+1，j（i，j∈N^*）；又记第3行的数3，5，8，13，22，39，…为数列{b_n}．则
（1）此数表中的第6行第3列的数为    ；
（2）数列{b_n}的通项公式为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数
（I ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若将f（x）的图象按向量平移得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的单调区间及值域．

17. 难度：中等

数列{a_n}满足：（n=1，2，3，…，）．
（1）求a_n的通项公式；
（2）若b_n=-（n+1）a_n，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有b_n≤b_k成立？证明你的结论．

18. 难度：中等

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求A的大小；
（2）现在给出下列三个条件：①a=1；②；③B=45°，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．

19. 难度：中等

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）设g（x）=+lnx，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

20. 难度：中等

已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若{a_n}的任一项a_n∈A∩B，首项a₁是A∩B中的最大数，且-750＜S₁₀＜-300．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，令T_n=24（b₂+b₄+b₆+…+b_2n），试比较T_n与的大小．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（a-1）lnx+ax²．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）求证：+++…+＞（n≥2，n∈N₊）；
（3）当a=0时，求证：f（x）≤-．