2013年全国高校自主招生数学模拟试卷（十七）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c＞0都成立的充要条件是（ ）
A．a，b同时为0，且c＞0
B．=c
C．＜c
D．＞c

2. 难度：中等

给出下列两个命题：（1）设a，b，c都是复数，如果a²+b²＞c²，则a²+b²-c²＞0；（2）设a，b，c都是复数，如果a²+b²-c²＞0，则a²+b²＞c²．那么下述说法正确的是（ ）
A．命题（1）正确，命题（2）也正确
B．命题（1）正确，命题（2）错误
C．命题（1）错误，命题（2）也错误
D．命题（1）错误，命题（2）正确

3. 难度：中等

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜的最小整数n是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

4. 难度：中等

已知0＜b＜1，0＜a＜，则下列三数：x=（sina）^log_bsina，y=（cosa）^log_bcosa，z=（sina）^log_bcosa（ ）
A．x＜z＜y
B．y＜z＜
C．z＜x＜y
D．x＜y＜z

5. 难度：中等

在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）
A．（ π，π）
B．（ π，π）
C．（0，）
D．（ π，π）

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，方程+=1 （a，b是不相等的两个正数）所代表的曲线是（ ）
A．三角形
B．正方形
C．非正方形的长方形
D．非正方形的菱形

二、填空题

7. 难度：中等

已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为（-1，1）和（2，2），若直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是    ．

8. 难度：中等

已知，且，则cos（x+2y）=    ．

9. 难度：中等

已知点集A={（x，y）|（x-3）²+（y-4）²≤（）²}，B={（x，y）|（x-4）²+（y-5）²＞（）²}，则点集A∩B中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数为    ．

10. 难度：中等

设0＜θ＜π，则sin的最大值为    ．

11. 难度：中等

已知一平面与正方体的12条棱的夹角均为θ，那么sinθ=    ．

12. 难度：中等

已知95个数a₁，a₂，…，a₉₅每个都只能取+1或-1两个值之一，那么它们的两两之积的和a₁a₂+a₁a₃+…+a₉₄a₉₅的最小正值为    ．

三、解答题

13. 难度：中等

x的二次方程x²+z₁x+z₂+m=0中，z₁，z₂，m均是复数，且-4z₂=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α-β|=2，求|m|的最大值和最小值．

14. 难度：中等

将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项．

15. 难度：中等

如图，设三角形的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=60°，∠A＜∠C，∠A的外角平分线交圆O于E．
证明：
（1）IO=AE；  
（2）2R＜IO+IA+IC＜（1+）R．

16. 难度：中等

给定平面上的点集P={P₁，P₂，…，P₁₉₉₄}，P中任三点均不共线，将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m（G）．
（1）求m（G）的最小值m．
（2）设G*是使m（G*）=m的一个图案，若G*中的线段（指以P的点为端点的线段）用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案，使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．